Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108489 / 100147
↖ ↑ ↗
← S 68.450689°
E117.973938°		 ← 112.18 m → S 68.450689°
E117.976685°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.451698°
E117.973938°		 ← 112.18 m →
12 586 m²		 S 68.451698°
E117.976685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827709197998047 y=0.764064788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827709197998047 × 217)
    floor (0.827709197998047 × 131072)
    floor (108489.5)     		tx = 108489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764064788818359 × 217)
    floor (0.764064788818359 × 131072)
    floor (100147.5)     		ty = 100147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108489 / 100147 ti = "17/108489/100147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108489/100147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108489 ÷ 217
    108489 ÷ 131072     		x = 0.827705383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100147 ÷ 217
    100147 ÷ 131072     		y = 0.764060974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827705383300781 × 2 - 1) × π
    0.655410766601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05903365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764060974121094 × 2 - 1) × π
    -0.528121948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65914403274976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05903365} λ = 2.05903365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65914403274976))-π/2
    2×atan(0.190301802516867)-π/2
    2×0.18805321743931-π/2
    0.376106434878621-1.57079632675     		φ = -1.19468989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05903365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.973938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19468989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.450689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108489 KachelY 100147 2.05903365 -1.19468989 117.973938 -68.450689
    Oben rechts KachelX + 1 108490 KachelY 100147 2.05908159 -1.19468989 117.976685 -68.450689
    Unten links KachelX 108489 KachelY + 1 100148 2.05903365 -1.19470750 117.973938 -68.451698
    Unten rechts KachelX + 1 108490 KachelY + 1 100148 2.05908159 -1.19470750 117.976685 -68.451698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19468989--1.19470750) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19468989--1.19470750) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05903365-2.05908159) × cos(-1.19468989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367301852550972 × 6371000     		do = 112.183440118678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05903365-2.05908159) × cos(-1.19470750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36728547340141 × 6371000     		du = 112.178437504803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19468989)-sin(-1.19470750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367301852550972-0.36728547340141)×R²
    abs(2.05908159-2.05903365)×1.63791495619847e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63791495619847e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63791495619847e-05×40589641000000     		ar = 12585.9508444458m²