Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108486 / 100161
↖ ↑ ↗
← S 68.464808°
E117.965698°		 ← 112.11 m → S 68.464808°
E117.968445°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.465816°
E117.965698°		 ← 112.11 m →
12 564 m²		 S 68.465816°
E117.968445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827686309814453 y=0.764171600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827686309814453 × 217)
    floor (0.827686309814453 × 131072)
    floor (108486.5)     		tx = 108486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764171600341797 × 217)
    floor (0.764171600341797 × 131072)
    floor (100161.5)     		ty = 100161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108486 / 100161 ti = "17/108486/100161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108486/100161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108486 ÷ 217
    108486 ÷ 131072     		x = 0.827682495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100161 ÷ 217
    100161 ÷ 131072     		y = 0.764167785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827682495117188 × 2 - 1) × π
    0.655364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05888984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764167785644531 × 2 - 1) × π
    -0.528335571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65981514934444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05888984} λ = 2.05888984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65981514934444))-π/2
    2×atan(0.190174130665341)-π/2
    2×0.187930004716012-π/2
    0.375860009432023-1.57079632675     		φ = -1.19493632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05888984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.965698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19493632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.464808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108486 KachelY 100161 2.05888984 -1.19493632 117.965698 -68.464808
    Oben rechts KachelX + 1 108487 KachelY 100161 2.05893778 -1.19493632 117.968445 -68.464808
    Unten links KachelX 108486 KachelY + 1 100162 2.05888984 -1.19495391 117.965698 -68.465816
    Unten rechts KachelX + 1 108487 KachelY + 1 100162 2.05893778 -1.19495391 117.968445 -68.465816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19493632--1.19495391) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dl = 112.065889999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19493632--1.19495391) × R
    1.75899999999007e-05 × 6371000     		dr = 112.065889999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05888984-2.05893778) × cos(-1.19493632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367072636415237 × 6371000     		do = 112.113431610801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05888984-2.05893778) × cos(-1.19495391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367056274276228 × 6371000     		du = 112.108434192386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19493632)-sin(-1.19495391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367072636415237-0.367056274276228)×R²
    abs(2.05893778-2.05888984)×1.63621390091295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63621390091295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63621390091295e-05×40589641000000     		ar = 12563.8114745555m²