Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108484 / 100187
↖ ↑ ↗
← S 68.491006°
E117.960205°		 ← 111.98 m → S 68.491006°
E117.962952°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.492013°
E117.960205°		 ← 111.98 m →
12 535 m²		 S 68.492013°
E117.962952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827671051025391 y=0.764369964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827671051025391 × 217)
    floor (0.827671051025391 × 131072)
    floor (108484.5)     		tx = 108484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764369964599609 × 217)
    floor (0.764369964599609 × 131072)
    floor (100187.5)     		ty = 100187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108484 / 100187 ti = "17/108484/100187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108484/100187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108484 ÷ 217
    108484 ÷ 131072     		x = 0.827667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100187 ÷ 217
    100187 ÷ 131072     		y = 0.764366149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827667236328125 × 2 - 1) × π
    0.65533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05879396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764366149902344 × 2 - 1) × π
    -0.528732299804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66106150873457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05879396} λ = 2.05879396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66106150873457))-π/2
    2×atan(0.189937252999844)-π/2
    2×0.18770138505998-π/2
    0.37540277011996-1.57079632675     		φ = -1.19539356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05879396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.960205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19539356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.491006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108484 KachelY 100187 2.05879396 -1.19539356 117.960205 -68.491006
    Oben rechts KachelX + 1 108485 KachelY 100187 2.05884190 -1.19539356 117.962952 -68.491006
    Unten links KachelX 108484 KachelY + 1 100188 2.05879396 -1.19541113 117.960205 -68.492013
    Unten rechts KachelX + 1 108485 KachelY + 1 100188 2.05884190 -1.19541113 117.962952 -68.492013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19539356--1.19541113) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19539356--1.19541113) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05879396-2.05884190) × cos(-1.19539356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366647276939855 × 6371000     		do = 111.983515878267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05879396-2.05884190) × cos(-1.19541113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366630930457641 × 6371000     		du = 111.97852324184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19539356)-sin(-1.19541113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366647276939855-0.366630930457641)×R²
    abs(2.05884190-2.05879396)×1.63464822142689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63464822142689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63464822142689e-05×40589641000000     		ar = 12534.9839989789m²