Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108482 / 100218
↖ ↑ ↗
← S 68.522202°
E117.954712°		 ← 111.83 m → S 68.522202°
E117.957459°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.523208°
E117.954712°		 ← 111.82 m →
12 511 m²		 S 68.523208°
E117.957459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827655792236328 y=0.764606475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827655792236328 × 217)
    floor (0.827655792236328 × 131072)
    floor (108482.5)     		tx = 108482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764606475830078 × 217)
    floor (0.764606475830078 × 131072)
    floor (100218.5)     		ty = 100218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108482 / 100218 ti = "17/108482/100218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108482/100218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108482 ÷ 217
    108482 ÷ 131072     		x = 0.827651977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100218 ÷ 217
    100218 ÷ 131072     		y = 0.764602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827651977539062 × 2 - 1) × π
    0.655303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05869809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764602661132812 × 2 - 1) × π
    -0.529205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66254755262279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05869809} λ = 2.05869809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66254755262279))-π/2
    2×atan(0.18965520752376)-π/2
    2×0.187429146334614-π/2
    0.374858292669228-1.57079632675     		φ = -1.19593803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05869809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.954712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19593803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.522202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108482 KachelY 100218 2.05869809 -1.19593803 117.954712 -68.522202
    Oben rechts KachelX + 1 108483 KachelY 100218 2.05874603 -1.19593803 117.957459 -68.522202
    Unten links KachelX 108482 KachelY + 1 100219 2.05869809 -1.19595559 117.954712 -68.523208
    Unten rechts KachelX + 1 108483 KachelY + 1 100219 2.05874603 -1.19595559 117.957459 -68.523208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19593803--1.19595559) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19593803--1.19595559) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05869809-2.05874603) × cos(-1.19593803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366140669496752 × 6371000     		do = 111.828784925067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05869809-2.05874603) × cos(-1.19595559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366124328815226 × 6371000     		du = 111.82379406032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19593803)-sin(-1.19595559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366140669496752-0.366124328815226)×R²
    abs(2.05874603-2.05869809)×1.63406815253397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63406815253397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63406815253397e-05×40589641000000     		ar = 12510.5392990611m²