Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108481 / 100165
↖ ↑ ↗
← S 68.468840°
E117.951965°		 ← 112.09 m → S 68.468840°
E117.954712°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.469848°
E117.951965°		 ← 112.09 m →
12 562 m²		 S 68.469848°
E117.954712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827648162841797 y=0.764202117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827648162841797 × 217)
    floor (0.827648162841797 × 131072)
    floor (108481.5)     		tx = 108481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764202117919922 × 217)
    floor (0.764202117919922 × 131072)
    floor (100165.5)     		ty = 100165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108481 / 100165 ti = "17/108481/100165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108481/100165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108481 ÷ 217
    108481 ÷ 131072     		x = 0.827644348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100165 ÷ 217
    100165 ÷ 131072     		y = 0.764198303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827644348144531 × 2 - 1) × π
    0.655288696289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.05865015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764198303222656 × 2 - 1) × π
    -0.528396606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66000689694292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05865015} λ = 2.05865015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66000689694292))-π/2
    2×atan(0.190137668728349)-π/2
    2×0.187894815205887-π/2
    0.375789630411773-1.57079632675     		φ = -1.19500670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05865015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.951965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19500670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.468840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108481 KachelY 100165 2.05865015 -1.19500670 117.951965 -68.468840
    Oben rechts KachelX + 1 108482 KachelY 100165 2.05869809 -1.19500670 117.954712 -68.468840
    Unten links KachelX 108481 KachelY + 1 100166 2.05865015 -1.19502429 117.951965 -68.469848
    Unten rechts KachelX + 1 108482 KachelY + 1 100166 2.05869809 -1.19502429 117.954712 -68.469848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19500670--1.19502429) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dl = 112.065890000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19500670--1.19502429) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dr = 112.065890000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05865015-2.05869809) × cos(-1.19500670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367007168573437 × 6371000     		do = 112.093436046773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05865015-2.05869809) × cos(-1.19502429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366990805980048 × 6371000     		du = 112.088438489579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19500670)-sin(-1.19502429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367007168573437-0.366990805980048)×R²
    abs(2.05869809-2.05865015)×1.63625933888301e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63625933888301e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63625933888301e-05×40589641000000     		ar = 12561.5706462179m²