Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108480 / 47552
↖ ↑ ↗
← N 44.213710°
E117.949219°		 ← 218.87 m → N 44.213710°
E117.951965°		 →
↑
218.91 m
↓
↑
218.91 m
↓
N 44.211741°
E117.949219°		 ← 218.87 m →
47 912 m²		 N 44.211741°
E117.951965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827640533447266 y=0.362796783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827640533447266 × 217)
    floor (0.827640533447266 × 131072)
    floor (108480.5)     		tx = 108480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362796783447266 × 217)
    floor (0.362796783447266 × 131072)
    floor (47552.5)     		ty = 47552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108480 / 47552 ti = "17/108480/47552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108480/47552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108480 ÷ 217
    108480 ÷ 131072     		x = 0.82763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47552 ÷ 217
    47552 ÷ 131072     		y = 0.36279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82763671875 × 2 - 1) × π
    0.6552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05860222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36279296875 × 2 - 1) × π
    0.2744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.86209720276709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05860222} λ = 2.05860222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.86209720276709))-π/2
    2×atan(2.36812192138352)-π/2
    2×1.17123556961159-π/2
    2.34247113922318-1.57079632675     		φ = 0.77167481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05860222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77167481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.213710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108480 KachelY 47552 2.05860222 0.77167481 117.949219 44.213710
    Oben rechts KachelX + 1 108481 KachelY 47552 2.05865015 0.77167481 117.951965 44.213710
    Unten links KachelX 108480 KachelY + 1 47553 2.05860222 0.77164045 117.949219 44.211741
    Unten rechts KachelX + 1 108481 KachelY + 1 47553 2.05865015 0.77164045 117.951965 44.211741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77167481-0.77164045) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dl = 218.90756000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77167481-0.77164045) × R
    3.4360000000011e-05 × 6371000     		dr = 218.90756000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05860222-2.05865015) × cos(0.77167481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.716743769031627 × 6371000     		do = 218.866332301483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05860222-2.05865015) × cos(0.77164045) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.716767729094985 × 6371000     		du = 218.873648795069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77167481)-sin(0.77164045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716743769031627-0.716767729094985)×R²
    abs(2.05865015-2.05860222)×2.39600633573644e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39600633573644e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39600633573644e-05×40589641000000     		ar = 47912.29559299m²