Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10848 / 4576
↖ ↑ ↗
← N 82.332382°
W120.410156°		 ← 81.50 m → N 82.332382°
W120.404663°		 →
↑
81.55 m
↓
↑
81.55 m
↓
N 82.331649°
W120.410156°		 ← 81.50 m →
6 646 m²		 N 82.331649°
W120.404663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165534973144531 y=0.0698318481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165534973144531 × 216)
    floor (0.165534973144531 × 65536)
    floor (10848.5)     		tx = 10848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0698318481445312 × 216)
    floor (0.0698318481445312 × 65536)
    floor (4576.5)     		ty = 4576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10848 / 4576 ti = "16/10848/4576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10848/4576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10848 ÷ 216
    10848 ÷ 65536     		x = 0.16552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4576 ÷ 216
    4576 ÷ 65536     		y = 0.06982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    -0.6689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10155368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06982421875 × 2 - 1) × π
    0.8603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70287414817725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10155368} λ = -2.10155368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70287414817725))-π/2
    2×atan(14.9225597963169)-π/2
    2×1.50388373697053-π/2
    3.00776747394106-1.57079632675     		φ = 1.43697115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10155368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43697115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.332382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10848 KachelY 4576 -2.10155368 1.43697115 -120.410156 82.332382
    Oben rechts KachelX + 1 10849 KachelY 4576 -2.10145781 1.43697115 -120.404663 82.332382
    Unten links KachelX 10848 KachelY + 1 4577 -2.10155368 1.43695835 -120.410156 82.331649
    Unten rechts KachelX + 1 10849 KachelY + 1 4577 -2.10145781 1.43695835 -120.404663 82.331649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43697115-1.43695835) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dl = 81.5487999995157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43697115-1.43695835) × R
    1.2799999999924e-05 × 6371000     		dr = 81.5487999995157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10155368--2.10145781) × cos(1.43697115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133426084515866 × 6371000     		do = 81.4950206212757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10155368--2.10145781) × cos(1.43695835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133438770057155 × 6371000     		du = 81.5027687947509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43697115)-sin(1.43695835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133426084515866-0.133438770057155)×R²
    abs(-2.10145781--2.10155368)×1.26855412889981e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26855412889981e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26855412889981e-05×40589641000000     		ar = 6646.1370647429m²