Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10848 / 4319
↖ ↑ ↗
← N 82.518464°
W120.410156°		 ← 79.53 m → N 82.518464°
W120.404663°		 →
↑
79.57 m
↓
↑
79.57 m
↓
N 82.517748°
W120.410156°		 ← 79.54 m →
6 329 m²		 N 82.517748°
W120.404663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165534973144531 y=0.0659103393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165534973144531 × 216)
    floor (0.165534973144531 × 65536)
    floor (10848.5)     		tx = 10848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0659103393554688 × 216)
    floor (0.0659103393554688 × 65536)
    floor (4319.5)     		ty = 4319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10848 / 4319 ti = "16/10848/4319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10848/4319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10848 ÷ 216
    10848 ÷ 65536     		x = 0.16552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4319 ÷ 216
    4319 ÷ 65536     		y = 0.0659027099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16552734375 × 2 - 1) × π
    -0.6689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10155368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0659027099609375 × 2 - 1) × π
    0.868194580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.72751371458196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10155368} λ = -2.10155368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72751371458196))-π/2
    2×atan(15.2948124382452)-π/2
    2×1.50550760698999-π/2
    3.01101521397999-1.57079632675     		φ = 1.44021889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10155368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.410156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44021889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.518464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10848 KachelY 4319 -2.10155368 1.44021889 -120.410156 82.518464
    Oben rechts KachelX + 1 10849 KachelY 4319 -2.10145781 1.44021889 -120.404663 82.518464
    Unten links KachelX 10848 KachelY + 1 4320 -2.10155368 1.44020640 -120.410156 82.517748
    Unten rechts KachelX + 1 10849 KachelY + 1 4320 -2.10145781 1.44020640 -120.404663 82.517748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44021889-1.44020640) × R
    1.24899999998096e-05 × 6371000     		dl = 79.5737899987869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44021889-1.44020640) × R
    1.24899999998096e-05 × 6371000     		dr = 79.5737899987869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10155368--2.10145781) × cos(1.44021889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130206685297558 × 6371000     		do = 79.5286509519857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10155368--2.10145781) × cos(1.44020640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.130219068958444 × 6371000     		du = 79.5362147406025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44021889)-sin(1.44020640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.130206685297558-0.130219068958444)×R²
    abs(-2.10145781--2.10155368)×1.23836608856842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.23836608856842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.23836608856842e-05×40589641000000     		ar = 6328.6971097099m²