Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108479 / 100222
↖ ↑ ↗
← S 68.526224°
E117.946472°		 ← 111.81 m → S 68.526224°
E117.949219°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.527229°
E117.946472°		 ← 111.80 m →
12 501 m²		 S 68.527229°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827632904052734 y=0.764636993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827632904052734 × 217)
    floor (0.827632904052734 × 131072)
    floor (108479.5)     		tx = 108479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764636993408203 × 217)
    floor (0.764636993408203 × 131072)
    floor (100222.5)     		ty = 100222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108479 / 100222 ti = "17/108479/100222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108479/100222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108479 ÷ 217
    108479 ÷ 131072     		x = 0.827629089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100222 ÷ 217
    100222 ÷ 131072     		y = 0.764633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827629089355469 × 2 - 1) × π
    0.655258178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05855428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.529266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66273930022127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05855428} λ = 2.05855428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66273930022127))-π/2
    2×atan(0.189618845079495)-π/2
    2×0.187394046169569-π/2
    0.374788092339138-1.57079632675     		φ = -1.19600823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05855428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.946472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19600823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.526224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108479 KachelY 100222 2.05855428 -1.19600823 117.946472 -68.526224
    Oben rechts KachelX + 1 108480 KachelY 100222 2.05860222 -1.19600823 117.949219 -68.526224
    Unten links KachelX 108479 KachelY + 1 100223 2.05855428 -1.19602578 117.946472 -68.527229
    Unten rechts KachelX + 1 108480 KachelY + 1 100223 2.05860222 -1.19602578 117.949219 -68.527229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19600823--1.19602578) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19600823--1.19602578) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05855428-2.05860222) × cos(-1.19600823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366075343316705 × 6371000     		do = 111.808832628185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05855428-2.05860222) × cos(-1.19602578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3660590114898 × 6371000     		du = 111.803844467867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19600823)-sin(-1.19602578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366075343316705-0.3660590114898)×R²
    abs(2.05860222-2.05855428)×1.63318269046364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63318269046364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63318269046364e-05×40589641000000     		ar = 12501.1841102548m²