Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108479 / 100157
↖ ↑ ↗
← S 68.460775°
E117.946472°		 ← 112.13 m → S 68.460775°
E117.949219°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.461783°
E117.946472°		 ← 112.13 m →
12 566 m²		 S 68.461783°
E117.949219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827632904052734 y=0.764141082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827632904052734 × 217)
    floor (0.827632904052734 × 131072)
    floor (108479.5)     		tx = 108479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764141082763672 × 217)
    floor (0.764141082763672 × 131072)
    floor (100157.5)     		ty = 100157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108479 / 100157 ti = "17/108479/100157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108479/100157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108479 ÷ 217
    108479 ÷ 131072     		x = 0.827629089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100157 ÷ 217
    100157 ÷ 131072     		y = 0.764137268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827629089355469 × 2 - 1) × π
    0.655258178710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05855428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764137268066406 × 2 - 1) × π
    -0.528274536132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65962340174596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05855428} λ = 2.05855428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65962340174596))-π/2
    2×atan(0.190210599594492)-π/2
    2×0.187965200503172-π/2
    0.375930401006345-1.57079632675     		φ = -1.19486593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05855428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.946472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19486593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.460775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108479 KachelY 100157 2.05855428 -1.19486593 117.946472 -68.460775
    Oben rechts KachelX + 1 108480 KachelY 100157 2.05860222 -1.19486593 117.949219 -68.460775
    Unten links KachelX 108479 KachelY + 1 100158 2.05855428 -1.19488352 117.946472 -68.461783
    Unten rechts KachelX + 1 108480 KachelY + 1 100158 2.05860222 -1.19488352 117.949219 -68.461783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19486593--1.19488352) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dl = 112.065890000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19486593--1.19488352) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dr = 112.065890000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05855428-2.05860222) × cos(-1.19486593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367138111740464 × 6371000     		do = 112.13342946046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05855428-2.05860222) × cos(-1.19488352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36712175005598 × 6371000     		du = 112.128432180869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19486593)-sin(-1.19488352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367138111740464-0.36712175005598)×R²
    abs(2.05860222-2.05855428)×1.63616844842118e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63616844842118e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63616844842118e-05×40589641000000     		ar = 12566.0525593263m²