Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108476 / 100148
↖ ↑ ↗
← S 68.451698°
E117.938232°		 ← 112.18 m → S 68.451698°
E117.940979°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.452706°
E117.938232°		 ← 112.17 m →
12 578 m²		 S 68.452706°
E117.940979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827610015869141 y=0.764072418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827610015869141 × 217)
    floor (0.827610015869141 × 131072)
    floor (108476.5)     		tx = 108476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764072418212891 × 217)
    floor (0.764072418212891 × 131072)
    floor (100148.5)     		ty = 100148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108476 / 100148 ti = "17/108476/100148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108476/100148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108476 ÷ 217
    108476 ÷ 131072     		x = 0.827606201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100148 ÷ 217
    100148 ÷ 131072     		y = 0.764068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827606201171875 × 2 - 1) × π
    0.65521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05841047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.52813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65919196964938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05841047} λ = 2.05841047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65919196964938))-π/2
    2×atan(0.19029268025711)-π/2
    2×0.188044413979593-π/2
    0.376088827959187-1.57079632675     		φ = -1.19470750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05841047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.938232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19470750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.451698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108476 KachelY 100148 2.05841047 -1.19470750 117.938232 -68.451698
    Oben rechts KachelX + 1 108477 KachelY 100148 2.05845841 -1.19470750 117.940979 -68.451698
    Unten links KachelX 108476 KachelY + 1 100149 2.05841047 -1.19472510 117.938232 -68.452706
    Unten rechts KachelX + 1 108477 KachelY + 1 100149 2.05845841 -1.19472510 117.940979 -68.452706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19470750--1.19472510) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19470750--1.19472510) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05841047-2.05845841) × cos(-1.19470750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36728547340141 × 6371000     		do = 112.178437504803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05841047-2.05845841) × cos(-1.19472510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367269103439096 × 6371000     		du = 112.173437696949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19470750)-sin(-1.19472510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36728547340141-0.367269103439096)×R²
    abs(2.05845841-2.05841047)×1.63699623144109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63699623144109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63699623144109e-05×40589641000000     		ar = 12578.2430131692m²