Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108475 / 42307
↖ ↑ ↗
← N 53.639753°
E117.935486°		 ← 181.07 m → N 53.639753°
E117.938232°		 →
↑
181.06 m
↓
↑
181.06 m
↓
N 53.638125°
E117.935486°		 ← 181.08 m →
32 787 m²		 N 53.638125°
E117.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827602386474609 y=0.322780609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827602386474609 × 217)
    floor (0.827602386474609 × 131072)
    floor (108475.5)     		tx = 108475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322780609130859 × 217)
    floor (0.322780609130859 × 131072)
    floor (42307.5)     		ty = 42307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108475 / 42307 ti = "17/108475/42307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108475/42307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108475 ÷ 217
    108475 ÷ 131072     		x = 0.827598571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42307 ÷ 217
    42307 ÷ 131072     		y = 0.322776794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827598571777344 × 2 - 1) × π
    0.655197143554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05836253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322776794433594 × 2 - 1) × π
    0.354446411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11352624127428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05836253} λ = 2.05836253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11352624127428))-π/2
    2×atan(3.04507716161997)-π/2
    2×1.25349331407194-π/2
    2.50698662814389-1.57079632675     		φ = 0.93619030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05836253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.935486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93619030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.639753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108475 KachelY 42307 2.05836253 0.93619030 117.935486 53.639753
    Oben rechts KachelX + 1 108476 KachelY 42307 2.05841047 0.93619030 117.938232 53.639753
    Unten links KachelX 108475 KachelY + 1 42308 2.05836253 0.93616188 117.935486 53.638125
    Unten rechts KachelX + 1 108476 KachelY + 1 42308 2.05841047 0.93616188 117.938232 53.638125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93619030-0.93616188) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dl = 181.063820000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93619030-0.93616188) × R
    2.8420000000029e-05 × 6371000     		dr = 181.063820000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05836253-2.05841047) × cos(0.93619030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592860291652431 × 6371000     		do = 181.074793294441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05836253-2.05841047) × cos(0.93616188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592883178190482 × 6371000     		du = 181.081783432261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93619030)-sin(0.93616188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592860291652431-0.592883178190482)×R²
    abs(2.05841047-2.05836253)×2.28865380509369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28865380509369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28865380509369e-05×40589641000000     		ar = 32786.7266125238m²