Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108475 / 100205
↖ ↑ ↗
← S 68.509125°
E117.935486°		 ← 111.89 m → S 68.509125°
E117.938232°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.510131°
E117.935486°		 ← 111.89 m →
12 518 m²		 S 68.510131°
E117.938232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827602386474609 y=0.764507293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827602386474609 × 217)
    floor (0.827602386474609 × 131072)
    floor (108475.5)     		tx = 108475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764507293701172 × 217)
    floor (0.764507293701172 × 131072)
    floor (100205.5)     		ty = 100205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108475 / 100205 ti = "17/108475/100205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108475/100205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108475 ÷ 217
    108475 ÷ 131072     		x = 0.827598571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100205 ÷ 217
    100205 ÷ 131072     		y = 0.764503479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827598571777344 × 2 - 1) × π
    0.655197143554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05836253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764503479003906 × 2 - 1) × π
    -0.529006958007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.66192437292773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05836253} λ = 2.05836253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66192437292773))-π/2
    2×atan(0.18977343363238)-π/2
    2×0.187543265133689-π/2
    0.375086530267378-1.57079632675     		φ = -1.19570980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05836253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.935486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19570980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.509125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108475 KachelY 100205 2.05836253 -1.19570980 117.935486 -68.509125
    Oben rechts KachelX + 1 108476 KachelY 100205 2.05841047 -1.19570980 117.938232 -68.509125
    Unten links KachelX 108475 KachelY + 1 100206 2.05836253 -1.19572736 117.935486 -68.510131
    Unten rechts KachelX + 1 108476 KachelY + 1 100206 2.05841047 -1.19572736 117.938232 -68.510131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19570980--1.19572736) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19570980--1.19572736) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05836253-2.05841047) × cos(-1.19570980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366353041556978 × 6371000     		do = 111.893648818717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05836253-2.05841047) × cos(-1.19572736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366336702343234 × 6371000     		du = 111.888658402269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19570980)-sin(-1.19572736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366353041556978-0.366336702343234)×R²
    abs(2.05841047-2.05836253)×1.63392137436658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63392137436658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63392137436658e-05×40589641000000     		ar = 12517.7959566034m²