Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108470 / 100185
S 68.488991°
E117.921753°
← 111.99 m → S 68.488991°
E117.924500°

112 m

112 m
S 68.489999°
E117.921753°
← 111.99 m →
12 543 m²
S 68.489999°
E117.924500°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827564239501953 y=0.764354705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827564239501953 × 217)
    floor (0.827564239501953 × 131072)
    floor (108470.5)
    tx = 108470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764354705810547 × 217)
    floor (0.764354705810547 × 131072)
    floor (100185.5)
    ty = 100185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108470 / 100185 ti = "17/108470/100185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108470/100185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108470 ÷ 217
    108470 ÷ 131072
    x = 0.827560424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100185 ÷ 217
    100185 ÷ 131072
    y = 0.764350891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.827560424804688 × 2 - 1) × π
    0.655120849609375 × 3.1415926535
    Λ = 2.05812285
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.764350891113281 × 2 - 1) × π
    -0.528701782226562 × 3.1415926535
    Φ = -1.66096563493533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05812285} λ = 2.05812285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66096563493533))-π/2
    2×atan(0.189955463878865)-π/2
    2×0.18771896177772-π/2
    0.37543792355544-1.57079632675
    φ = -1.19535840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05812285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.921753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19535840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.488991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108470 KachelY 100185 2.05812285 -1.19535840 117.921753 -68.488991
    Oben rechts KachelX + 1 108471 KachelY 100185 2.05817079 -1.19535840 117.924500 -68.488991
    Unten links KachelX 108470 KachelY + 1 100186 2.05812285 -1.19537598 117.921753 -68.489999
    Unten rechts KachelX + 1 108471 KachelY + 1 100186 2.05817079 -1.19537598 117.924500 -68.489999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.19535840--1.19537598) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000
    dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.19535840--1.19537598) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000
    dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.05812285-2.05817079) × cos(-1.19535840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366679988171664 × 6371000
    do = 111.993506730448m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.05812285-2.05817079) × cos(-1.19537598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366663632612419 × 6371000
    du = 111.988511321663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.19535840)-sin(-1.19537598))×
    abs(λ12)×abs(0.366679988171664-0.366663632612419)×
    abs(2.05817079-2.05812285)×1.63555592445075e-05×
    4.79399999999686e-05×1.63555592445075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63555592445075e-05×40589641000000
    ar = 12543.2371516864m²