Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 10847 / 23454
↖ ↑ ↗
← S 61.090168°
W 60.831299°		 ← 590.55 m → S 61.090168°
W 60.820313°		 →
↑
590.53 m
↓
↑
590.53 m
↓
S 61.095479°
W 60.831299°		 ← 590.45 m →
348 707 m²		 S 61.095479°
W 60.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331039428710938 y=0.715774536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331039428710938 × 215)
    floor (0.331039428710938 × 32768)
    floor (10847.5)     		tx = 10847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715774536132812 × 215)
    floor (0.715774536132812 × 32768)
    floor (23454.5)     		ty = 23454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10847 / 23454 ti = "15/10847/23454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10847/23454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10847 ÷ 215
    10847 ÷ 32768     		x = 0.331024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23454 ÷ 215
    23454 ÷ 32768     		y = 0.71575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.33795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.06170645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35565552125519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06170645} λ = -1.06170645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35565552125519))-π/2
    2×atan(0.257778259926509)-π/2
    2×0.252285874550513-π/2
    0.504571749101027-1.57079632675     		φ = -1.06622458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06170645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06622458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.090168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10847 KachelY 23454 -1.06170645 -1.06622458 -60.831299 -61.090168
    Oben rechts KachelX + 1 10848 KachelY 23454 -1.06151471 -1.06622458 -60.820313 -61.090168
    Unten links KachelX 10847 KachelY + 1 23455 -1.06170645 -1.06631727 -60.831299 -61.095479
    Unten rechts KachelX + 1 10848 KachelY + 1 23455 -1.06151471 -1.06631727 -60.820313 -61.095479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06622458--1.06631727) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dl = 590.527990000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06622458--1.06631727) × R
    9.26900000000064e-05 × 6371000     		dr = 590.527990000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06170645--1.06151471) × cos(-1.06622458) × R
    0.000191739999999996 × 0.483432599696382 × 6371000     		do = 590.549439027698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06170645--1.06151471) × cos(-1.06631727) × R
    0.000191739999999996 × 0.483351458500578 × 6371000     		du = 590.450318927618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06622458)-sin(-1.06631727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483432599696382-0.483351458500578)×R²
    abs(-1.06151471--1.06170645)×8.11411958037689e-05×R²
    0.000191739999999996×8.11411958037689e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.11411958037689e-05×40589641000000     		ar = 348706.706877512m²