Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108468 / 100188
↖ ↑ ↗
← S 68.492013°
E117.916260°		 ← 111.98 m → S 68.492013°
E117.919006°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.493020°
E117.916260°		 ← 111.97 m →
12 542 m²		 S 68.493020°
E117.919006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827548980712891 y=0.764377593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827548980712891 × 217)
    floor (0.827548980712891 × 131072)
    floor (108468.5)     		tx = 108468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764377593994141 × 217)
    floor (0.764377593994141 × 131072)
    floor (100188.5)     		ty = 100188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108468 / 100188 ti = "17/108468/100188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108468/100188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108468 ÷ 217
    108468 ÷ 131072     		x = 0.827545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100188 ÷ 217
    100188 ÷ 131072     		y = 0.764373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827545166015625 × 2 - 1) × π
    0.65509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05802697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.52874755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66110944563419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05802697} λ = 2.05802697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66110944563419))-π/2
    2×atan(0.189928148215042)-π/2
    2×0.187692597289013-π/2
    0.375385194578027-1.57079632675     		φ = -1.19541113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05802697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.916260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19541113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.492013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108468 KachelY 100188 2.05802697 -1.19541113 117.916260 -68.492013
    Oben rechts KachelX + 1 108469 KachelY 100188 2.05807491 -1.19541113 117.919006 -68.492013
    Unten links KachelX 108468 KachelY + 1 100189 2.05802697 -1.19542871 117.916260 -68.493020
    Unten rechts KachelX + 1 108469 KachelY + 1 100189 2.05807491 -1.19542871 117.919006 -68.493020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19541113--1.19542871) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19541113--1.19542871) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05802697-2.05807491) × cos(-1.19541113) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.366630930457641 × 6371000     		do = 111.978523242877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05802697-2.05807491) × cos(-1.19542871) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.366614574558517 × 6371000     		du = 111.973527730284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19541113)-sin(-1.19542871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366630930457641-0.366614574558517)×R²
    abs(2.05807491-2.05802697)×1.63558991241319e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.63558991241319e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.63558991241319e-05×40589641000000     		ar = 12541.5589624518m²