Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108467 / 100143
↖ ↑ ↗
← S 68.446653°
E117.913513°		 ← 112.18 m → S 68.446653°
E117.916260°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.447662°
E117.913513°		 ← 112.18 m →
12 586 m²		 S 68.447662°
E117.916260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827541351318359 y=0.764034271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827541351318359 × 217)
    floor (0.827541351318359 × 131072)
    floor (108467.5)     		tx = 108467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764034271240234 × 217)
    floor (0.764034271240234 × 131072)
    floor (100143.5)     		ty = 100143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108467 / 100143 ti = "17/108467/100143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108467/100143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108467 ÷ 217
    108467 ÷ 131072     		x = 0.827537536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100143 ÷ 217
    100143 ÷ 131072     		y = 0.764030456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827537536621094 × 2 - 1) × π
    0.655075073242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.05797904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764030456542969 × 2 - 1) × π
    -0.528060913085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.65895228515128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05797904} λ = 2.05797904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65895228515128))-π/2
    2×atan(0.190338295929136)-π/2
    2×0.188088435203541-π/2
    0.376176870407083-1.57079632675     		φ = -1.19461946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05797904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.913513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19461946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.446653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108467 KachelY 100143 2.05797904 -1.19461946 117.913513 -68.446653
    Oben rechts KachelX + 1 108468 KachelY 100143 2.05802697 -1.19461946 117.916260 -68.446653
    Unten links KachelX 108467 KachelY + 1 100144 2.05797904 -1.19463707 117.913513 -68.447662
    Unten rechts KachelX + 1 108468 KachelY + 1 100144 2.05802697 -1.19463707 117.916260 -68.447662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19461946--1.19463707) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19461946--1.19463707) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05797904-2.05802697) × cos(-1.19461946) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.367367358709363 × 6371000     		do = 112.180042410258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05797904-2.05802697) × cos(-1.19463707) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.367350980015386 × 6371000     		du = 112.175040979017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19461946)-sin(-1.19463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367367358709363-0.367350980015386)×R²
    abs(2.05802697-2.05797904)×1.63786939771926e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.63786939771926e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.63786939771926e-05×40589641000000     		ar = 12585.5697106396m²