Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108462 / 42195
↖ ↑ ↗
← N 53.821733°
E117.899780°		 ← 180.29 m → N 53.821733°
E117.902527°		 →
↑
180.30 m
↓
↑
180.30 m
↓
N 53.820112°
E117.899780°		 ← 180.30 m →
32 507 m²		 N 53.820112°
E117.902527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827503204345703 y=0.321926116943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827503204345703 × 217)
    floor (0.827503204345703 × 131072)
    floor (108462.5)     		tx = 108462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321926116943359 × 217)
    floor (0.321926116943359 × 131072)
    floor (42195.5)     		ty = 42195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108462 / 42195 ti = "17/108462/42195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108462/42195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108462 ÷ 217
    108462 ÷ 131072     		x = 0.827499389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42195 ÷ 217
    42195 ÷ 131072     		y = 0.321922302246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827499389648438 × 2 - 1) × π
    0.654998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05773935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321922302246094 × 2 - 1) × π
    0.356155395507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.11889517403173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05773935} λ = 2.05773935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11889517403173))-π/2
    2×atan(3.06146994263402)-π/2
    2×1.25508138931157-π/2
    2.51016277862314-1.57079632675     		φ = 0.93936645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05773935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.899780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93936645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.821733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108462 KachelY 42195 2.05773935 0.93936645 117.899780 53.821733
    Oben rechts KachelX + 1 108463 KachelY 42195 2.05778729 0.93936645 117.902527 53.821733
    Unten links KachelX 108462 KachelY + 1 42196 2.05773935 0.93933815 117.899780 53.820112
    Unten rechts KachelX + 1 108463 KachelY + 1 42196 2.05778729 0.93933815 117.902527 53.820112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93936645-0.93933815) × R
    2.82999999999811e-05 × 6371000     		dl = 180.29929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93936645-0.93933815) × R
    2.82999999999811e-05 × 6371000     		dr = 180.29929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05773935-2.05778729) × cos(0.93936645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590299535065176 × 6371000     		do = 180.292672318819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05773935-2.05778729) × cos(0.93933815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590322378143863 × 6371000     		du = 180.299649183031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93936645)-sin(0.93933815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590299535065176-0.590322378143863)×R²
    abs(2.05778729-2.05773935)×2.28430786862743e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28430786862743e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28430786862743e-05×40589641000000     		ar = 32507.2715783388m²