Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108459 / 42463
↖ ↑ ↗
← N 53.384967°
E117.891540°		 ← 182.17 m → N 53.384967°
E117.894287°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.383329°
E117.891540°		 ← 182.17 m →
33 182 m²		 N 53.383329°
E117.894287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827480316162109 y=0.323970794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827480316162109 × 217)
    floor (0.827480316162109 × 131072)
    floor (108459.5)     		tx = 108459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323970794677734 × 217)
    floor (0.323970794677734 × 131072)
    floor (42463.5)     		ty = 42463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108459 / 42463 ti = "17/108459/42463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108459/42463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108459 ÷ 217
    108459 ÷ 131072     		x = 0.827476501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42463 ÷ 217
    42463 ÷ 131072     		y = 0.323966979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827476501464844 × 2 - 1) × π
    0.654953002929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05759554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323966979980469 × 2 - 1) × π
    0.352066040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10604808493356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05759554} λ = 2.05759554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10604808493356))-π/2
    2×atan(3.02239053134475)-π/2
    2×1.25126988214111-π/2
    2.50253976428221-1.57079632675     		φ = 0.93174344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05759554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.891540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93174344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.384967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108459 KachelY 42463 2.05759554 0.93174344 117.891540 53.384967
    Oben rechts KachelX + 1 108460 KachelY 42463 2.05764348 0.93174344 117.894287 53.384967
    Unten links KachelX 108459 KachelY + 1 42464 2.05759554 0.93171485 117.891540 53.383329
    Unten rechts KachelX + 1 108460 KachelY + 1 42464 2.05764348 0.93171485 117.894287 53.383329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93174344-0.93171485) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93174344-0.93171485) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05759554-2.05764348) × cos(0.93174344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596435498142787 × 6371000     		do = 182.16675338241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05759554-2.05764348) × cos(0.93171485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596458445977293 × 6371000     		du = 182.173762241745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93174344)-sin(0.93171485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596435498142787-0.596458445977293)×R²
    abs(2.05764348-2.05759554)×2.29478345057377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29478345057377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29478345057377e-05×40589641000000     		ar = 33181.7459132139m²