Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108457 / 42461
↖ ↑ ↗
← N 53.388243°
E117.886047°		 ← 182.15 m → N 53.388243°
E117.888794°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.386605°
E117.886047°		 ← 182.16 m →
33 179 m²		 N 53.386605°
E117.888794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827465057373047 y=0.323955535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827465057373047 × 217)
    floor (0.827465057373047 × 131072)
    floor (108457.5)     		tx = 108457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323955535888672 × 217)
    floor (0.323955535888672 × 131072)
    floor (42461.5)     		ty = 42461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108457 / 42461 ti = "17/108457/42461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108457/42461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108457 ÷ 217
    108457 ÷ 131072     		x = 0.827461242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42461 ÷ 217
    42461 ÷ 131072     		y = 0.323951721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827461242675781 × 2 - 1) × π
    0.654922485351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05749967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323951721191406 × 2 - 1) × π
    0.352096557617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.1061439587328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05749967} λ = 2.05749967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1061439587328))-π/2
    2×atan(3.0226803132988)-π/2
    2×1.25129847230971-π/2
    2.50259694461942-1.57079632675     		φ = 0.93180062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05749967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.886047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93180062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.388243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108457 KachelY 42461 2.05749967 0.93180062 117.886047 53.388243
    Oben rechts KachelX + 1 108458 KachelY 42461 2.05754761 0.93180062 117.888794 53.388243
    Unten links KachelX 108457 KachelY + 1 42462 2.05749967 0.93177203 117.886047 53.386605
    Unten rechts KachelX + 1 108458 KachelY + 1 42462 2.05754761 0.93177203 117.888794 53.386605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93180062-0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93180062-0.93177203) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05749967-2.05754761) × cos(0.93180062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596389601011237 × 6371000     		do = 182.152735217042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05749967-2.05754761) × cos(0.93177203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		du = 182.159744374174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93180062)-sin(0.93177203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596389601011237-0.596412549820762)×R²
    abs(2.05754761-2.05749967)×2.29488095254693e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29488095254693e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29488095254693e-05×40589641000000     		ar = 33179.1925751602m²