Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108456 / 42455
↖ ↑ ↗
← N 53.398070°
E117.883301°		 ← 182.11 m → N 53.398070°
E117.886047°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.396432°
E117.883301°		 ← 182.12 m →
33 160 m²		 N 53.396432°
E117.886047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827457427978516 y=0.323909759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827457427978516 × 217)
    floor (0.827457427978516 × 131072)
    floor (108456.5)     		tx = 108456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323909759521484 × 217)
    floor (0.323909759521484 × 131072)
    floor (42455.5)     		ty = 42455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108456 / 42455 ti = "17/108456/42455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108456/42455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108456 ÷ 217
    108456 ÷ 131072     		x = 0.82745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42455 ÷ 217
    42455 ÷ 131072     		y = 0.323905944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82745361328125 × 2 - 1) × π
    0.6549072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05745173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323905944824219 × 2 - 1) × π
    0.352188110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10643158013052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05745173} λ = 2.05745173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10643158013052))-π/2
    2×atan(3.02354982587459)-π/2
    2×1.25138422961498-π/2
    2.50276845922997-1.57079632675     		φ = 0.93197213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05745173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.883301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93197213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.398070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108456 KachelY 42455 2.05745173 0.93197213 117.883301 53.398070
    Oben rechts KachelX + 1 108457 KachelY 42455 2.05749967 0.93197213 117.886047 53.398070
    Unten links KachelX 108456 KachelY + 1 42456 2.05745173 0.93194355 117.883301 53.396432
    Unten rechts KachelX + 1 108457 KachelY + 1 42456 2.05749967 0.93194355 117.886047 53.396432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93197213-0.93194355) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dl = 182.083180000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93197213-0.93194355) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dr = 182.083180000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05745173-2.05749967) × cos(0.93197213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596251922001546 × 6371000     		do = 182.110684503625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05745173-2.05749967) × cos(0.93194355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596274865707365 × 6371000     		du = 182.117692101953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93197213)-sin(0.93194355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596251922001546-0.596274865707365)×R²
    abs(2.05749967-2.05745173)×2.2943705819789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2943705819789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2943705819789e-05×40589641000000     		ar = 33159.9305316102m²