Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108454 / 42450
↖ ↑ ↗
← N 53.406257°
E117.877808°		 ← 182.04 m → N 53.406257°
E117.880554°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.404620°
E117.877808°		 ← 182.04 m →
33 147 m²		 N 53.404620°
E117.880554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827442169189453 y=0.323871612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827442169189453 × 217)
    floor (0.827442169189453 × 131072)
    floor (108454.5)     		tx = 108454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323871612548828 × 217)
    floor (0.323871612548828 × 131072)
    floor (42450.5)     		ty = 42450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108454 / 42450 ti = "17/108454/42450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108454/42450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108454 ÷ 217
    108454 ÷ 131072     		x = 0.827438354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42450 ÷ 217
    42450 ÷ 131072     		y = 0.323867797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827438354492188 × 2 - 1) × π
    0.654876708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05735586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323867797851562 × 2 - 1) × π
    0.352264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10667126462862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05735586} λ = 2.05735586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10667126462862))-π/2
    2×atan(3.02427461075347)-π/2
    2×1.25145567891155-π/2
    2.5029113578231-1.57079632675     		φ = 0.93211503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05735586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.877808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93211503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.406257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108454 KachelY 42450 2.05735586 0.93211503 117.877808 53.406257
    Oben rechts KachelX + 1 108455 KachelY 42450 2.05740379 0.93211503 117.880554 53.406257
    Unten links KachelX 108454 KachelY + 1 42451 2.05735586 0.93208645 117.877808 53.404620
    Unten rechts KachelX + 1 108455 KachelY + 1 42451 2.05740379 0.93208645 117.880554 53.404620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93211503-0.93208645) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dl = 182.083179999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93211503-0.93208645) × R
    2.85799999999448e-05 × 6371000     		dr = 182.083179999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05735586-2.05740379) × cos(0.93211503) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596137196167396 × 6371000     		do = 182.037664380296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05735586-2.05740379) × cos(0.93208645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59616014230817 × 6371000     		du = 182.044671260423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93211503)-sin(0.93208645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596137196167396-0.59616014230817)×R²
    abs(2.05740379-2.05735586)×2.29461407740272e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29461407740272e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29461407740272e-05×40589641000000     		ar = 33146.6347297542m²