Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108450 / 100194
↖ ↑ ↗
← S 68.498054°
E117.866821°		 ← 111.95 m → S 68.498054°
E117.869568°		 →
↑
111.94 m
↓
↑
111.94 m
↓
S 68.499060°
E117.866821°		 ← 111.94 m →
12 531 m²		 S 68.499060°
E117.869568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827411651611328 y=0.764423370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827411651611328 × 217)
    floor (0.827411651611328 × 131072)
    floor (108450.5)     		tx = 108450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764423370361328 × 217)
    floor (0.764423370361328 × 131072)
    floor (100194.5)     		ty = 100194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108450 / 100194 ti = "17/108450/100194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108450/100194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108450 ÷ 217
    108450 ÷ 131072     		x = 0.827407836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100194 ÷ 217
    100194 ÷ 131072     		y = 0.764419555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827407836914062 × 2 - 1) × π
    0.654815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05716411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764419555664062 × 2 - 1) × π
    -0.528839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66139706703191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05716411} λ = 2.05716411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66139706703191))-π/2
    2×atan(0.189873528670837)-π/2
    2×0.187639878892934-π/2
    0.375279757785869-1.57079632675     		φ = -1.19551657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05716411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.866821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19551657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.498054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108450 KachelY 100194 2.05716411 -1.19551657 117.866821 -68.498054
    Oben rechts KachelX + 1 108451 KachelY 100194 2.05721205 -1.19551657 117.869568 -68.498054
    Unten links KachelX 108450 KachelY + 1 100195 2.05716411 -1.19553414 117.866821 -68.499060
    Unten rechts KachelX + 1 108451 KachelY + 1 100195 2.05721205 -1.19553414 117.869568 -68.499060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19551657--1.19553414) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dl = 111.938470000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19551657--1.19553414) × R
    1.75700000000223e-05 × 6371000     		dr = 111.938470000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05716411-2.05721205) × cos(-1.19551657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366532830579634 × 6371000     		do = 111.948561014006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05716411-2.05721205) × cos(-1.19553414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366516483305131 × 6371000     		du = 111.943568135594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19551657)-sin(-1.19553414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366532830579634-0.366516483305131)×R²
    abs(2.05721205-2.05716411)×1.6347274502504e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6347274502504e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6347274502504e-05×40589641000000     		ar = 12531.0711914232m²