Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108448 / 42428
↖ ↑ ↗
← N 53.442264°
E117.861328°		 ← 181.88 m → N 53.442264°
E117.864075°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
N 53.440627°
E117.861328°		 ← 181.89 m →
33 095 m²		 N 53.440627°
E117.864075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827396392822266 y=0.323703765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827396392822266 × 217)
    floor (0.827396392822266 × 131072)
    floor (108448.5)     		tx = 108448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323703765869141 × 217)
    floor (0.323703765869141 × 131072)
    floor (42428.5)     		ty = 42428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108448 / 42428 ti = "17/108448/42428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108448/42428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108448 ÷ 217
    108448 ÷ 131072     		x = 0.827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42428 ÷ 217
    42428 ÷ 131072     		y = 0.323699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827392578125 × 2 - 1) × π
    0.65478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05706824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323699951171875 × 2 - 1) × π
    0.35260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10772587642026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05706824} λ = 2.05706824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10772587642026))-π/2
    2×atan(3.02746572881873)-π/2
    2×1.25176989250295-π/2
    2.50353978500591-1.57079632675     		φ = 0.93274346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05706824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93274346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.442264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108448 KachelY 42428 2.05706824 0.93274346 117.861328 53.442264
    Oben rechts KachelX + 1 108449 KachelY 42428 2.05711617 0.93274346 117.864075 53.442264
    Unten links KachelX 108448 KachelY + 1 42429 2.05706824 0.93271490 117.861328 53.440627
    Unten rechts KachelX + 1 108449 KachelY + 1 42429 2.05711617 0.93271490 117.864075 53.440627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93274346-0.93271490) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dl = 181.955759999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93274346-0.93271490) × R
    2.85599999999553e-05 × 6371000     		dr = 181.955759999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05706824-2.05711617) × cos(0.93274346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59563252298396 × 6371000     		do = 181.883556352515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05706824-2.05711617) × cos(0.93271490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595655463762547 × 6371000     		du = 181.890561595234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93274346)-sin(0.93271490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59563252298396-0.595655463762547)×R²
    abs(2.05711617-2.05706824)×2.29407785873326e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29407785873326e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29407785873326e-05×40589641000000     		ar = 33095.3980520751m²