Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108446 / 42426
↖ ↑ ↗
← N 53.445535°
E117.855835°		 ← 181.91 m → N 53.445535°
E117.858582°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 53.443899°
E117.855835°		 ← 181.91 m →
33 088 m²		 N 53.443899°
E117.858582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827381134033203 y=0.323688507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827381134033203 × 217)
    floor (0.827381134033203 × 131072)
    floor (108446.5)     		tx = 108446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323688507080078 × 217)
    floor (0.323688507080078 × 131072)
    floor (42426.5)     		ty = 42426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108446 / 42426 ti = "17/108446/42426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108446/42426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108446 ÷ 217
    108446 ÷ 131072     		x = 0.827377319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42426 ÷ 217
    42426 ÷ 131072     		y = 0.323684692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827377319335938 × 2 - 1) × π
    0.654754638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05697236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323684692382812 × 2 - 1) × π
    0.352630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1078217502195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05697236} λ = 2.05697236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1078217502195))-π/2
    2×atan(3.02775599737458)-π/2
    2×1.25179844418006-π/2
    2.50359688836011-1.57079632675     		φ = 0.93280056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05697236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.855835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93280056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.445535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108446 KachelY 42426 2.05697236 0.93280056 117.855835 53.445535
    Oben rechts KachelX + 1 108447 KachelY 42426 2.05702030 0.93280056 117.858582 53.445535
    Unten links KachelX 108446 KachelY + 1 42427 2.05697236 0.93277201 117.855835 53.443899
    Unten rechts KachelX + 1 108447 KachelY + 1 42427 2.05702030 0.93277201 117.858582 53.443899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93280056-0.93277201) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dl = 181.892050000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93280056-0.93277201) × R
    2.85500000000161e-05 × 6371000     		dr = 181.892050000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05697236-2.05702030) × cos(0.93280056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.5955866560351 × 6371000     		do = 181.907495153527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05697236-2.05702030) × cos(0.93277201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595609589752272 × 6371000     		du = 181.914499701065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93280056)-sin(0.93277201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5955866560351-0.595609589752272)×R²
    abs(2.05702030-2.05697236)×2.29337171713251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29337171713251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29337171713251e-05×40589641000000     		ar = 33088.1642419617m²