Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108445 / 100221
↖ ↑ ↗
← S 68.525219°
E117.853089°		 ← 111.79 m → S 68.525219°
E117.855835°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.526224°
E117.853089°		 ← 111.79 m →
12 492 m²		 S 68.526224°
E117.855835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827373504638672 y=0.764629364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827373504638672 × 217)
    floor (0.827373504638672 × 131072)
    floor (108445.5)     		tx = 108445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764629364013672 × 217)
    floor (0.764629364013672 × 131072)
    floor (100221.5)     		ty = 100221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108445 / 100221 ti = "17/108445/100221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108445/100221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108445 ÷ 217
    108445 ÷ 131072     		x = 0.827369689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100221 ÷ 217
    100221 ÷ 131072     		y = 0.764625549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827369689941406 × 2 - 1) × π
    0.654739379882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05692443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764625549316406 × 2 - 1) × π
    -0.529251098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.66269136332165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05692443} λ = 2.05692443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66269136332165))-π/2
    2×atan(0.189627935036908)-π/2
    2×0.187402820623672-π/2
    0.374805641247344-1.57079632675     		φ = -1.19599069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05692443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.853089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19599069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.525219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108445 KachelY 100221 2.05692443 -1.19599069 117.853089 -68.525219
    Oben rechts KachelX + 1 108446 KachelY 100221 2.05697236 -1.19599069 117.855835 -68.525219
    Unten links KachelX 108445 KachelY + 1 100222 2.05692443 -1.19600823 117.853089 -68.526224
    Unten rechts KachelX + 1 108446 KachelY + 1 100222 2.05697236 -1.19600823 117.855835 -68.526224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19599069--1.19600823) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19599069--1.19600823) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05692443-2.05697236) × cos(-1.19599069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36609166572507 × 6371000     		do = 111.790494211957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05692443-2.05697236) × cos(-1.19600823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366075343316705 × 6371000     		du = 111.785509968204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19599069)-sin(-1.19600823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36609166572507-0.366075343316705)×R²
    abs(2.05697236-2.05692443)×1.63224083644109e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63224083644109e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63224083644109e-05×40589641000000     		ar = 12492.0118777185m²