Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108443 / 46235
↖ ↑ ↗
← N 46.749271°
E117.847595°		 ← 209.28 m → N 46.749271°
E117.850342°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 46.747389°
E117.847595°		 ← 209.28 m →
43 786 m²		 N 46.747389°
E117.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827358245849609 y=0.352748870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827358245849609 × 217)
    floor (0.827358245849609 × 131072)
    floor (108443.5)     		tx = 108443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352748870849609 × 217)
    floor (0.352748870849609 × 131072)
    floor (46235.5)     		ty = 46235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108443 / 46235 ti = "17/108443/46235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108443/46235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108443 ÷ 217
    108443 ÷ 131072     		x = 0.827354431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46235 ÷ 217
    46235 ÷ 131072     		y = 0.352745056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827354431152344 × 2 - 1) × π
    0.654708862304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05682855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352745056152344 × 2 - 1) × π
    0.294509887695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.925230099566704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05682855} λ = 2.05682855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925230099566704))-π/2
    2×atan(2.52244860791844)-π/2
    2×1.19336251523107-π/2
    2.38672503046215-1.57079632675     		φ = 0.81592870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05682855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.847595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81592870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.749271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108443 KachelY 46235 2.05682855 0.81592870 117.847595 46.749271
    Oben rechts KachelX + 1 108444 KachelY 46235 2.05687649 0.81592870 117.850342 46.749271
    Unten links KachelX 108443 KachelY + 1 46236 2.05682855 0.81589586 117.847595 46.747389
    Unten rechts KachelX + 1 108444 KachelY + 1 46236 2.05687649 0.81589586 117.850342 46.747389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81592870-0.81589586) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dl = 209.223639999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81592870-0.81589586) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dr = 209.223639999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05682855-2.05687649) × cos(0.81592870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685192259015338 × 6371000     		do = 209.275352751894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05682855-2.05687649) × cos(0.81589586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685216178062167 × 6371000     		du = 209.282658244472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81592870)-sin(0.81589586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685192259015338-0.685216178062167)×R²
    abs(2.05687649-2.05682855)×2.39190468291905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39190468291905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39190468291905e-05×40589641000000     		ar = 43786.1153096945m²