Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108443 / 100219
↖ ↑ ↗
← S 68.523208°
E117.847595°		 ← 111.82 m → S 68.523208°
E117.850342°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.524213°
E117.847595°		 ← 111.82 m →
12 503 m²		 S 68.524213°
E117.850342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827358245849609 y=0.764614105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827358245849609 × 217)
    floor (0.827358245849609 × 131072)
    floor (108443.5)     		tx = 108443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764614105224609 × 217)
    floor (0.764614105224609 × 131072)
    floor (100219.5)     		ty = 100219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108443 / 100219 ti = "17/108443/100219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108443/100219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108443 ÷ 217
    108443 ÷ 131072     		x = 0.827354431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100219 ÷ 217
    100219 ÷ 131072     		y = 0.764610290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827354431152344 × 2 - 1) × π
    0.654708862304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05682855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764610290527344 × 2 - 1) × π
    -0.529220581054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66259548952241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05682855} λ = 2.05682855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66259548952241))-π/2
    2×atan(0.189646116259019)-π/2
    2×0.18742037070618-π/2
    0.37484074141236-1.57079632675     		φ = -1.19595559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05682855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.847595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19595559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.523208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108443 KachelY 100219 2.05682855 -1.19595559 117.847595 -68.523208
    Oben rechts KachelX + 1 108444 KachelY 100219 2.05687649 -1.19595559 117.850342 -68.523208
    Unten links KachelX 108443 KachelY + 1 100220 2.05682855 -1.19597314 117.847595 -68.524213
    Unten rechts KachelX + 1 108444 KachelY + 1 100220 2.05687649 -1.19597314 117.850342 -68.524213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19595559--1.19597314) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19595559--1.19597314) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05682855-2.05687649) × cos(-1.19595559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366124328815226 × 6371000     		do = 111.82379406032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05682855-2.05687649) × cos(-1.19597314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366107997326529 × 6371000     		du = 111.8188060033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19595559)-sin(-1.19597314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366124328815226-0.366107997326529)×R²
    abs(2.05687649-2.05682855)×1.63314886972299e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63314886972299e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63314886972299e-05×40589641000000     		ar = 12502.856969166m²