Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108442 / 46234
↖ ↑ ↗
← N 46.751153°
E117.844849°		 ← 209.22 m → N 46.751153°
E117.847595°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 46.749271°
E117.844849°		 ← 209.23 m →
43 789 m²		 N 46.749271°
E117.847595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827350616455078 y=0.352741241455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827350616455078 × 217)
    floor (0.827350616455078 × 131072)
    floor (108442.5)     		tx = 108442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352741241455078 × 217)
    floor (0.352741241455078 × 131072)
    floor (46234.5)     		ty = 46234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108442 / 46234 ti = "17/108442/46234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108442/46234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108442 ÷ 217
    108442 ÷ 131072     		x = 0.827346801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46234 ÷ 217
    46234 ÷ 131072     		y = 0.352737426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827346801757812 × 2 - 1) × π
    0.654693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05678062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352737426757812 × 2 - 1) × π
    0.294525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.925278036466324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05678062} λ = 2.05678062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925278036466324))-π/2
    2×atan(2.52256952918243)-π/2
    2×1.19337893794057-π/2
    2.38675787588114-1.57079632675     		φ = 0.81596155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05678062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.844849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81596155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.751153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108442 KachelY 46234 2.05678062 0.81596155 117.844849 46.751153
    Oben rechts KachelX + 1 108443 KachelY 46234 2.05682855 0.81596155 117.847595 46.751153
    Unten links KachelX 108442 KachelY + 1 46235 2.05678062 0.81592870 117.844849 46.749271
    Unten rechts KachelX + 1 108443 KachelY + 1 46235 2.05682855 0.81592870 117.847595 46.749271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81596155-0.81592870) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dl = 209.287350000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81596155-0.81592870) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dr = 209.287350000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05678062-2.05682855) × cos(0.81596155) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.685168331945705 × 6371000     		do = 209.224392734782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05678062-2.05682855) × cos(0.81592870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.685192259015338 × 6371000     		du = 209.231699153337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81596155)-sin(0.81592870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685168331945705-0.685192259015338)×R²
    abs(2.05682855-2.05678062)×2.39270696330562e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39270696330562e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39270696330562e-05×40589641000000     		ar = 43788.7832854392m²