Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108441 / 46233
↖ ↑ ↗
← N 46.753035°
E117.842102°		 ← 209.26 m → N 46.753035°
E117.844849°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 46.751153°
E117.842102°		 ← 209.27 m →
43 783 m²		 N 46.751153°
E117.844849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827342987060547 y=0.352733612060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827342987060547 × 217)
    floor (0.827342987060547 × 131072)
    floor (108441.5)     		tx = 108441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352733612060547 × 217)
    floor (0.352733612060547 × 131072)
    floor (46233.5)     		ty = 46233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108441 / 46233 ti = "17/108441/46233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108441/46233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108441 ÷ 217
    108441 ÷ 131072     		x = 0.827339172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46233 ÷ 217
    46233 ÷ 131072     		y = 0.352729797363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827339172363281 × 2 - 1) × π
    0.654678344726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05673268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352729797363281 × 2 - 1) × π
    0.294540405273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.925325973365944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05673268} λ = 2.05673268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925325973365944))-π/2
    2×atan(2.52269045624314)-π/2
    2×1.19339536007666-π/2
    2.38679072015331-1.57079632675     		φ = 0.81599439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05673268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.842102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81599439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.753035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108441 KachelY 46233 2.05673268 0.81599439 117.842102 46.753035
    Oben rechts KachelX + 1 108442 KachelY 46233 2.05678062 0.81599439 117.844849 46.753035
    Unten links KachelX 108441 KachelY + 1 46234 2.05673268 0.81596155 117.842102 46.751153
    Unten rechts KachelX + 1 108442 KachelY + 1 46234 2.05678062 0.81596155 117.844849 46.751153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81599439-0.81596155) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dl = 209.223639999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81599439-0.81596155) × R
    3.28399999999229e-05 × 6371000     		dr = 209.223639999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05673268-2.05678062) × cos(0.81599439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685144411420764 × 6371000     		do = 209.260738864914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05673268-2.05678062) × cos(0.81596155) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685168331945705 × 6371000     		du = 209.268044808945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81599439)-sin(0.81596155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685144411420764-0.685168331945705)×R²
    abs(2.05678062-2.05673268)×2.39205249409347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39205249409347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39205249409347e-05×40589641000000     		ar = 43783.0577862371m²