Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108441 / 42464
↖ ↑ ↗
← N 53.383329°
E117.842102°		 ← 182.17 m → N 53.383329°
E117.844849°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.381690°
E117.842102°		 ← 182.18 m →
33 195 m²		 N 53.381690°
E117.844849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827342987060547 y=0.323978424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827342987060547 × 217)
    floor (0.827342987060547 × 131072)
    floor (108441.5)     		tx = 108441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323978424072266 × 217)
    floor (0.323978424072266 × 131072)
    floor (42464.5)     		ty = 42464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108441 / 42464 ti = "17/108441/42464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108441/42464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108441 ÷ 217
    108441 ÷ 131072     		x = 0.827339172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42464 ÷ 217
    42464 ÷ 131072     		y = 0.323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827339172363281 × 2 - 1) × π
    0.654678344726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05673268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323974609375 × 2 - 1) × π
    0.35205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10600014803394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05673268} λ = 2.05673268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10600014803394))-π/2
    2×atan(3.02224565078582)-π/2
    2×1.25125558623173-π/2
    2.50251117246345-1.57079632675     		φ = 0.93171485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05673268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.842102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93171485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.383329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108441 KachelY 42464 2.05673268 0.93171485 117.842102 53.383329
    Oben rechts KachelX + 1 108442 KachelY 42464 2.05678062 0.93171485 117.844849 53.383329
    Unten links KachelX 108441 KachelY + 1 42465 2.05673268 0.93168625 117.842102 53.381690
    Unten rechts KachelX + 1 108442 KachelY + 1 42465 2.05678062 0.93168625 117.844849 53.381690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93171485-0.93168625) × R
    2.85999999999342e-05 × 6371000     		dl = 182.210599999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93171485-0.93168625) × R
    2.85999999999342e-05 × 6371000     		dr = 182.210599999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05673268-2.05678062) × cos(0.93171485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596458445977293 × 6371000     		do = 182.173762241745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05673268-2.05678062) × cos(0.93168625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59648140135053 × 6371000     		du = 182.180773403603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93171485)-sin(0.93168625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596458445977293-0.59648140135053)×R²
    abs(2.05678062-2.05673268)×2.29553732365995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29553732365995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29553732365995e-05×40589641000000     		ar = 33194.6292784109m²