Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108439 / 42446
↖ ↑ ↗
← N 53.412806°
E117.836609°		 ← 182.05 m → N 53.412806°
E117.839355°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
N 53.411169°
E117.836609°		 ← 182.05 m →
33 137 m²		 N 53.411169°
E117.839355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827327728271484 y=0.323841094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827327728271484 × 217)
    floor (0.827327728271484 × 131072)
    floor (108439.5)     		tx = 108439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323841094970703 × 217)
    floor (0.323841094970703 × 131072)
    floor (42446.5)     		ty = 42446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108439 / 42446 ti = "17/108439/42446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108439/42446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108439 ÷ 217
    108439 ÷ 131072     		x = 0.827323913574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42446 ÷ 217
    42446 ÷ 131072     		y = 0.323837280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827323913574219 × 2 - 1) × π
    0.654647827148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05663680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323837280273438 × 2 - 1) × π
    0.352325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1068630122271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05663680} λ = 2.05663680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1068630122271))-π/2
    2×atan(3.02485456374774)-π/2
    2×1.25151282844999-π/2
    2.50302565689998-1.57079632675     		φ = 0.93222933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05663680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.836609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93222933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.412806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108439 KachelY 42446 2.05663680 0.93222933 117.836609 53.412806
    Oben rechts KachelX + 1 108440 KachelY 42446 2.05668474 0.93222933 117.839355 53.412806
    Unten links KachelX 108439 KachelY + 1 42447 2.05663680 0.93220076 117.836609 53.411169
    Unten rechts KachelX + 1 108440 KachelY + 1 42447 2.05668474 0.93220076 117.839355 53.411169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93222933-0.93220076) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93222933-0.93220076) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05663680-2.05668474) × cos(0.93222933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596045422794155 × 6371000     		do = 182.047614330398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05663680-2.05668474) × cos(0.93220076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596068362852878 × 6371000     		du = 182.054620814809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93222933)-sin(0.93220076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596045422794155-0.596068362852878)×R²
    abs(2.05668474-2.05663680)×2.29400587226092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29400587226092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29400587226092e-05×40589641000000     		ar = 33136.8479357373m²