Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108438 / 42466
↖ ↑ ↗
← N 53.380052°
E117.833862°		 ← 182.15 m → N 53.380052°
E117.836609°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.378413°
E117.833862°		 ← 182.16 m →
33 190 m²		 N 53.378413°
E117.836609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827320098876953 y=0.323993682861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827320098876953 × 217)
    floor (0.827320098876953 × 131072)
    floor (108438.5)     		tx = 108438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323993682861328 × 217)
    floor (0.323993682861328 × 131072)
    floor (42466.5)     		ty = 42466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108438 / 42466 ti = "17/108438/42466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108438/42466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108438 ÷ 217
    108438 ÷ 131072     		x = 0.827316284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42466 ÷ 217
    42466 ÷ 131072     		y = 0.323989868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827316284179688 × 2 - 1) × π
    0.654632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05658887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323989868164062 × 2 - 1) × π
    0.352020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1059042742347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05658887} λ = 2.05658887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1059042742347))-π/2
    2×atan(3.02195591050252)-π/2
    2×1.25122699276277-π/2
    2.50245398552554-1.57079632675     		φ = 0.93165766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05658887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.833862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93165766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.380052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108438 KachelY 42466 2.05658887 0.93165766 117.833862 53.380052
    Oben rechts KachelX + 1 108439 KachelY 42466 2.05663680 0.93165766 117.836609 53.380052
    Unten links KachelX 108438 KachelY + 1 42467 2.05658887 0.93162906 117.833862 53.378413
    Unten rechts KachelX + 1 108439 KachelY + 1 42467 2.05663680 0.93162906 117.836609 53.378413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93165766-0.93162906) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93165766-0.93162906) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05658887-2.05663680) × cos(0.93165766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59650434820977 × 6371000     		do = 182.149778673274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05658887-2.05663680) × cos(0.93162906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596527302607363 × 6371000     		du = 182.15678807472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93165766)-sin(0.93162906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59650434820977-0.596527302607363)×R²
    abs(2.05663680-2.05658887)×2.29543975925894e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29543975925894e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29543975925894e-05×40589641000000     		ar = 33190.2590580187m²