Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108438 / 42321
↖ ↑ ↗
← N 53.616950°
E117.833862°		 ← 181.13 m → N 53.616950°
E117.836609°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
N 53.615321°
E117.833862°		 ← 181.14 m →
32 821 m²		 N 53.615321°
E117.836609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827320098876953 y=0.322887420654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827320098876953 × 217)
    floor (0.827320098876953 × 131072)
    floor (108438.5)     		tx = 108438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322887420654297 × 217)
    floor (0.322887420654297 × 131072)
    floor (42321.5)     		ty = 42321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108438 / 42321 ti = "17/108438/42321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108438/42321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108438 ÷ 217
    108438 ÷ 131072     		x = 0.827316284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42321 ÷ 217
    42321 ÷ 131072     		y = 0.322883605957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827316284179688 × 2 - 1) × π
    0.654632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05658887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322883605957031 × 2 - 1) × π
    0.354232788085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1128551246796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05658887} λ = 2.05658887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1128551246796))-π/2
    2×atan(3.04303424539889)-π/2
    2×1.25329432111913-π/2
    2.50658864223826-1.57079632675     		φ = 0.93579232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05658887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.833862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93579232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.616950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108438 KachelY 42321 2.05658887 0.93579232 117.833862 53.616950
    Oben rechts KachelX + 1 108439 KachelY 42321 2.05663680 0.93579232 117.836609 53.616950
    Unten links KachelX 108438 KachelY + 1 42322 2.05658887 0.93576388 117.833862 53.615321
    Unten rechts KachelX + 1 108439 KachelY + 1 42322 2.05663680 0.93576388 117.836609 53.615321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93579232-0.93576388) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93579232-0.93576388) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05658887-2.05663680) × cos(0.93579232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593180740108216 × 6371000     		do = 181.134874956458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05658887-2.05663680) × cos(0.93576388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593203636039774 × 6371000     		du = 181.141866504597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93579232)-sin(0.93576388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593180740108216-0.593203636039774)×R²
    abs(2.05663680-2.05658887)×2.28959315576871e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28959315576871e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28959315576871e-05×40589641000000     		ar = 32820.6860064946m²