Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108436 / 46204
↖ ↑ ↗
← N 46.807580°
E117.828369°		 ← 209.05 m → N 46.807580°
E117.831116°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
N 46.805700°
E117.828369°		 ← 209.06 m →
43 699 m²		 N 46.805700°
E117.831116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827304840087891 y=0.352512359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827304840087891 × 217)
    floor (0.827304840087891 × 131072)
    floor (108436.5)     		tx = 108436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352512359619141 × 217)
    floor (0.352512359619141 × 131072)
    floor (46204.5)     		ty = 46204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108436 / 46204 ti = "17/108436/46204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108436/46204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108436 ÷ 217
    108436 ÷ 131072     		x = 0.827301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46204 ÷ 217
    46204 ÷ 131072     		y = 0.352508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827301025390625 × 2 - 1) × π
    0.65460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05649299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352508544921875 × 2 - 1) × π
    0.29498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.926716143454926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05649299} λ = 2.05649299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926716143454926))-π/2
    2×atan(2.52619986383072)-π/2
    2×1.19387135259864-π/2
    2.38774270519727-1.57079632675     		φ = 0.81694638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05649299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.828369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81694638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.807580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108436 KachelY 46204 2.05649299 0.81694638 117.828369 46.807580
    Oben rechts KachelX + 1 108437 KachelY 46204 2.05654093 0.81694638 117.831116 46.807580
    Unten links KachelX 108436 KachelY + 1 46205 2.05649299 0.81691357 117.828369 46.805700
    Unten rechts KachelX + 1 108437 KachelY + 1 46205 2.05654093 0.81691357 117.831116 46.805700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81694638-0.81691357) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81694638-0.81691357) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05649299-2.05654093) × cos(0.81694638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684450664630646 × 6371000     		do = 209.04885073817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05649299-2.05654093) × cos(0.81691357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.684474584693928 × 6371000     		du = 209.056156541198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81694638)-sin(0.81691357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684450664630646-0.684474584693928)×R²
    abs(2.05654093-2.05649299)×2.39200632815573e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39200632815573e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39200632815573e-05×40589641000000     		ar = 43698.7695615124m²