Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108436 / 100212
↖ ↑ ↗
← S 68.516167°
E117.828369°		 ← 111.86 m → S 68.516167°
E117.831116°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.517173°
E117.828369°		 ← 111.85 m →
12 514 m²		 S 68.517173°
E117.831116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827304840087891 y=0.764560699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827304840087891 × 217)
    floor (0.827304840087891 × 131072)
    floor (108436.5)     		tx = 108436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764560699462891 × 217)
    floor (0.764560699462891 × 131072)
    floor (100212.5)     		ty = 100212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108436 / 100212 ti = "17/108436/100212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108436/100212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108436 ÷ 217
    108436 ÷ 131072     		x = 0.827301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100212 ÷ 217
    100212 ÷ 131072     		y = 0.764556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827301025390625 × 2 - 1) × π
    0.65460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05649299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.52911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66225993122507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05649299} λ = 2.05649299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66225993122507))-π/2
    2×atan(0.1897097642651)-π/2
    2×0.187481808326672-π/2
    0.374963616653344-1.57079632675     		φ = -1.19583271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05649299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.828369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19583271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.516167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108436 KachelY 100212 2.05649299 -1.19583271 117.828369 -68.516167
    Oben rechts KachelX + 1 108437 KachelY 100212 2.05654093 -1.19583271 117.831116 -68.516167
    Unten links KachelX 108436 KachelY + 1 100213 2.05649299 -1.19585027 117.828369 -68.517173
    Unten rechts KachelX + 1 108437 KachelY + 1 100213 2.05654093 -1.19585027 117.831116 -68.517173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19583271--1.19585027) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19583271--1.19585027) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05649299-2.05654093) × cos(-1.19583271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366238673993972 × 6371000     		do = 111.858718021154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05649299-2.05654093) × cos(-1.19585027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36622233398967 × 6371000     		du = 111.853727363249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19583271)-sin(-1.19585027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366238673993972-0.36622233398967)×R²
    abs(2.05654093-2.05649299)×1.63400043022288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63400043022288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63400043022288e-05×40589641000000     		ar = 12513.8880685894m²