Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108434 / 42322
↖ ↑ ↗
← N 53.615321°
E117.822876°		 ← 181.18 m → N 53.615321°
E117.825623°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
N 53.613691°
E117.822876°		 ← 181.19 m →
32 829 m²		 N 53.613691°
E117.825623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827289581298828 y=0.322895050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827289581298828 × 217)
    floor (0.827289581298828 × 131072)
    floor (108434.5)     		tx = 108434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322895050048828 × 217)
    floor (0.322895050048828 × 131072)
    floor (42322.5)     		ty = 42322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108434 / 42322 ti = "17/108434/42322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108434/42322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108434 ÷ 217
    108434 ÷ 131072     		x = 0.827285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42322 ÷ 217
    42322 ÷ 131072     		y = 0.322891235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827285766601562 × 2 - 1) × π
    0.654571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05639712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322891235351562 × 2 - 1) × π
    0.354217529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11280718777998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05639712} λ = 2.05639712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11280718777998))-π/2
    2×atan(3.04288837526803)-π/2
    2×1.2532801032219-π/2
    2.50656020644379-1.57079632675     		φ = 0.93576388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05639712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.822876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93576388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.615321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108434 KachelY 42322 2.05639712 0.93576388 117.822876 53.615321
    Oben rechts KachelX + 1 108435 KachelY 42322 2.05644506 0.93576388 117.825623 53.615321
    Unten links KachelX 108434 KachelY + 1 42323 2.05639712 0.93573544 117.822876 53.613691
    Unten rechts KachelX + 1 108435 KachelY + 1 42323 2.05644506 0.93573544 117.825623 53.613691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93576388-0.93573544) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dl = 181.191240000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93576388-0.93573544) × R
    2.84400000000185e-05 × 6371000     		dr = 181.191240000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05639712-2.05644506) × cos(0.93576388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593203636039774 × 6371000     		do = 181.17965950802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05639712-2.05644506) × cos(0.93573544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.593226531491528 × 6371000     		du = 181.186652368315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93576388)-sin(0.93573544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593203636039774-0.593226531491528)×R²
    abs(2.05644506-2.05639712)×2.28954517546009e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28954517546009e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28954517546009e-05×40589641000000     		ar = 32828.8006937888m²