Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108434 / 100223
↖ ↑ ↗
← S 68.527229°
E117.822876°		 ← 111.80 m → S 68.527229°
E117.825623°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.528235°
E117.822876°		 ← 111.80 m →
12 501 m²		 S 68.528235°
E117.825623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827289581298828 y=0.764644622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827289581298828 × 217)
    floor (0.827289581298828 × 131072)
    floor (108434.5)     		tx = 108434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764644622802734 × 217)
    floor (0.764644622802734 × 131072)
    floor (100223.5)     		ty = 100223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108434 / 100223 ti = "17/108434/100223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108434/100223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108434 ÷ 217
    108434 ÷ 131072     		x = 0.827285766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100223 ÷ 217
    100223 ÷ 131072     		y = 0.764640808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827285766601562 × 2 - 1) × π
    0.654571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05639712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764640808105469 × 2 - 1) × π
    -0.529281616210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66278723712089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05639712} λ = 2.05639712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66278723712089))-π/2
    2×atan(0.189609755557816)-π/2
    2×0.18738527210688-π/2
    0.37477054421376-1.57079632675     		φ = -1.19602578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05639712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.822876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19602578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.527229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108434 KachelY 100223 2.05639712 -1.19602578 117.822876 -68.527229
    Oben rechts KachelX + 1 108435 KachelY 100223 2.05644506 -1.19602578 117.825623 -68.527229
    Unten links KachelX 108434 KachelY + 1 100224 2.05639712 -1.19604333 117.822876 -68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 108435 KachelY + 1 100224 2.05644506 -1.19604333 117.825623 -68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19602578--1.19604333) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19602578--1.19604333) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05639712-2.05644506) × cos(-1.19602578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3660590114898 × 6371000     		do = 111.803844467867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05639712-2.05644506) × cos(-1.19604333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 111.798856273114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19602578)-sin(-1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3660590114898-0.366042679550149)×R²
    abs(2.05644506-2.05639712)×1.63319396515038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63319396515038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63319396515038e-05×40589641000000     		ar = 12500.6263765514m²