Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108433 / 99824
↖ ↑ ↗
← S 68.122482°
E117.820129°		 ← 113.81 m → S 68.122482°
E117.822876°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.123506°
E117.820129°		 ← 113.80 m →
12 950 m²		 S 68.123506°
E117.822876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827281951904297 y=0.761600494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827281951904297 × 217)
    floor (0.827281951904297 × 131072)
    floor (108433.5)     		tx = 108433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761600494384766 × 217)
    floor (0.761600494384766 × 131072)
    floor (99824.5)     		ty = 99824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108433 / 99824 ti = "17/108433/99824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108433/99824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108433 ÷ 217
    108433 ÷ 131072     		x = 0.827278137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99824 ÷ 217
    99824 ÷ 131072     		y = 0.7615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827278137207031 × 2 - 1) × π
    0.654556274414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.05634918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64366041417249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05634918} λ = 2.05634918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64366041417249))-π/2
    2×atan(0.193271292944343)-π/2
    2×0.190917357048881-π/2
    0.381834714097763-1.57079632675     		φ = -1.18896161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05634918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.820129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18896161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.122482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108433 KachelY 99824 2.05634918 -1.18896161 117.820129 -68.122482
    Oben rechts KachelX + 1 108434 KachelY 99824 2.05639712 -1.18896161 117.822876 -68.122482
    Unten links KachelX 108433 KachelY + 1 99825 2.05634918 -1.18897947 117.820129 -68.123506
    Unten rechts KachelX + 1 108434 KachelY + 1 99825 2.05639712 -1.18897947 117.822876 -68.123506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18896161--1.18897947) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18896161--1.18897947) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05634918-2.05639712) × cos(-1.18896161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372623680767378 × 6371000     		do = 113.808863439826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05634918-2.05639712) × cos(-1.18897947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372607106939805 × 6371000     		du = 113.803801366274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18896161)-sin(-1.18897947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372623680767378-0.372607106939805)×R²
    abs(2.05639712-2.05634918)×1.65738275738625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65738275738625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65738275738625e-05×40589641000000     		ar = 12949.5741675995m²