Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108432 / 100215
↖ ↑ ↗
← S 68.519185°
E117.817383°		 ← 111.82 m → S 68.519185°
E117.820129°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.520191°
E117.817383°		 ← 111.82 m →
12 502 m²		 S 68.520191°
E117.820129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827274322509766 y=0.764583587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827274322509766 × 217)
    floor (0.827274322509766 × 131072)
    floor (108432.5)     		tx = 108432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764583587646484 × 217)
    floor (0.764583587646484 × 131072)
    floor (100215.5)     		ty = 100215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108432 / 100215 ti = "17/108432/100215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108432/100215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108432 ÷ 217
    108432 ÷ 131072     		x = 0.8272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100215 ÷ 217
    100215 ÷ 131072     		y = 0.764579772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8272705078125 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05630125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764579772949219 × 2 - 1) × π
    -0.529159545898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.66240374192393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05630125} λ = 2.05630125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66240374192393))-π/2
    2×atan(0.189682483932969)-π/2
    2×0.187455475568814-π/2
    0.374910951137629-1.57079632675     		φ = -1.19588538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05630125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19588538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.519185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108432 KachelY 100215 2.05630125 -1.19588538 117.817383 -68.519185
    Oben rechts KachelX + 1 108433 KachelY 100215 2.05634918 -1.19588538 117.820129 -68.519185
    Unten links KachelX 108432 KachelY + 1 100216 2.05630125 -1.19590293 117.817383 -68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 108433 KachelY + 1 100216 2.05634918 -1.19590293 117.820129 -68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19588538--1.19590293) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19588538--1.19590293) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05630125-2.05634918) × cos(-1.19588538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366189662947695 × 6371000     		do = 111.820418842792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05630125-2.05634918) × cos(-1.19590293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 111.815431964019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19588538)-sin(-1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366189662947695-0.366173331910161)×R²
    abs(2.05634918-2.05630125)×1.6331037533901e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6331037533901e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6331037533901e-05×40589641000000     		ar = 12502.4796482805m²