Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108432 / 100159
↖ ↑ ↗
← S 68.462791°
E117.817383°		 ← 112.10 m → S 68.462791°
E117.820129°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.463800°
E117.817383°		 ← 112.10 m →
12 569 m²		 S 68.463800°
E117.820129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827274322509766 y=0.764156341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827274322509766 × 217)
    floor (0.827274322509766 × 131072)
    floor (108432.5)     		tx = 108432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764156341552734 × 217)
    floor (0.764156341552734 × 131072)
    floor (100159.5)     		ty = 100159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108432 / 100159 ti = "17/108432/100159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108432/100159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108432 ÷ 217
    108432 ÷ 131072     		x = 0.8272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100159 ÷ 217
    100159 ÷ 131072     		y = 0.764152526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8272705078125 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05630125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764152526855469 × 2 - 1) × π
    -0.528305053710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6597192755452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05630125} λ = 2.05630125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6597192755452))-π/2
    2×atan(0.190192364255813)-π/2
    2×0.187947601824903-π/2
    0.375895203649807-1.57079632675     		φ = -1.19490112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05630125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.817383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19490112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.462791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108432 KachelY 100159 2.05630125 -1.19490112 117.817383 -68.462791
    Oben rechts KachelX + 1 108433 KachelY 100159 2.05634918 -1.19490112 117.820129 -68.462791
    Unten links KachelX 108432 KachelY + 1 100160 2.05630125 -1.19491872 117.817383 -68.463800
    Unten rechts KachelX + 1 108433 KachelY + 1 100160 2.05634918 -1.19491872 117.820129 -68.463800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19490112--1.19491872) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19490112--1.19491872) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05630125-2.05634918) × cos(-1.19490112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367105378956112 × 6371000     		do = 112.100043742026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05630125-2.05634918) × cos(-1.19491872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367089007742529 × 6371000     		du = 112.095044595013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19490112)-sin(-1.19491872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367105378956112-0.367089007742529)×R²
    abs(2.05634918-2.05630125)×1.63712135827776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63712135827776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63712135827776e-05×40589641000000     		ar = 12569.4527890689m²