Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108431 / 42561
↖ ↑ ↗
← N 53.224124°
E117.814636°		 ← 182.85 m → N 53.224124°
E117.817383°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
N 53.222480°
E117.814636°		 ← 182.86 m →
33 435 m²		 N 53.222480°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827266693115234 y=0.324718475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827266693115234 × 217)
    floor (0.827266693115234 × 131072)
    floor (108431.5)     		tx = 108431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324718475341797 × 217)
    floor (0.324718475341797 × 131072)
    floor (42561.5)     		ty = 42561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108431 / 42561 ti = "17/108431/42561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108431/42561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108431 ÷ 217
    108431 ÷ 131072     		x = 0.827262878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42561 ÷ 217
    42561 ÷ 131072     		y = 0.324714660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827262878417969 × 2 - 1) × π
    0.654525756835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05625331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324714660644531 × 2 - 1) × π
    0.350570678710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10135026877079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05625331} λ = 2.05625331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10135026877079))-π/2
    2×atan(3.00822519538032)-π/2
    2×1.24986626713286-π/2
    2.49973253426572-1.57079632675     		φ = 0.92893621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05625331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.814636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92893621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.224124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108431 KachelY 42561 2.05625331 0.92893621 117.814636 53.224124
    Oben rechts KachelX + 1 108432 KachelY 42561 2.05630125 0.92893621 117.817383 53.224124
    Unten links KachelX 108431 KachelY + 1 42562 2.05625331 0.92890751 117.814636 53.222480
    Unten rechts KachelX + 1 108432 KachelY + 1 42562 2.05630125 0.92890751 117.817383 53.222480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92893621-0.92890751) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92893621-0.92890751) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05625331-2.05630125) × cos(0.92893621) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.598686399134243 × 6371000     		do = 182.854236485085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05625331-2.05630125) × cos(0.92890751) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.59870938711463 × 6371000     		du = 182.861257606006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92893621)-sin(0.92890751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598686399134243-0.59870938711463)×R²
    abs(2.05630125-2.05625331)×2.29879803864685e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.29879803864685e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.29879803864685e-05×40589641000000     		ar = 33435.1184768m²