Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108431 / 100160
↖ ↑ ↗
← S 68.463800°
E117.814636°		 ← 112.12 m → S 68.463800°
E117.817383°		 →
↑
112.13 m
↓
↑
112.13 m
↓
S 68.464808°
E117.814636°		 ← 112.11 m →
12 572 m²		 S 68.464808°
E117.817383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827266693115234 y=0.764163970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827266693115234 × 217)
    floor (0.827266693115234 × 131072)
    floor (108431.5)     		tx = 108431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764163970947266 × 217)
    floor (0.764163970947266 × 131072)
    floor (100160.5)     		ty = 100160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108431 / 100160 ti = "17/108431/100160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108431/100160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108431 ÷ 217
    108431 ÷ 131072     		x = 0.827262878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100160 ÷ 217
    100160 ÷ 131072     		y = 0.76416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827262878417969 × 2 - 1) × π
    0.654525756835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.05625331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65976721244482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05625331} λ = 2.05625331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65976721244482))-π/2
    2×atan(0.190183247242062)-π/2
    2×0.187938803074293-π/2
    0.375877606148586-1.57079632675     		φ = -1.19491872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05625331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.814636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19491872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.463800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108431 KachelY 100160 2.05625331 -1.19491872 117.814636 -68.463800
    Oben rechts KachelX + 1 108432 KachelY 100160 2.05630125 -1.19491872 117.817383 -68.463800
    Unten links KachelX 108431 KachelY + 1 100161 2.05625331 -1.19493632 117.814636 -68.464808
    Unten rechts KachelX + 1 108432 KachelY + 1 100161 2.05630125 -1.19493632 117.817383 -68.464808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19491872--1.19493632) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dl = 112.129600000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19491872--1.19493632) × R
    1.7600000000062e-05 × 6371000     		dr = 112.129600000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05625331-2.05630125) × cos(-1.19491872) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.367089007742529 × 6371000     		do = 112.118431836593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05625331-2.05630125) × cos(-1.19493632) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.367072636415237 × 6371000     		du = 112.11343161184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19491872)-sin(-1.19493632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367089007742529-0.367072636415237)×R²
    abs(2.05630125-2.05625331)×1.63713272922639e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.63713272922639e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.63713272922639e-05×40589641000000     		ar = 12571.5145782457m²