Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108430 / 42559
↖ ↑ ↗
← N 53.227412°
E117.811890°		 ← 182.84 m → N 53.227412°
E117.814636°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
N 53.225769°
E117.811890°		 ← 182.85 m →
33 421 m²		 N 53.225769°
E117.814636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827259063720703 y=0.324703216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827259063720703 × 217)
    floor (0.827259063720703 × 131072)
    floor (108430.5)     		tx = 108430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324703216552734 × 217)
    floor (0.324703216552734 × 131072)
    floor (42559.5)     		ty = 42559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108430 / 42559 ti = "17/108430/42559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108430/42559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108430 ÷ 217
    108430 ÷ 131072     		x = 0.827255249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42559 ÷ 217
    42559 ÷ 131072     		y = 0.324699401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827255249023438 × 2 - 1) × π
    0.654510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05620537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324699401855469 × 2 - 1) × π
    0.350601196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10144614257003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05620537} λ = 2.05620537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10144614257003))-π/2
    2×atan(3.00851361918469)-π/2
    2×1.24989496520084-π/2
    2.49978993040167-1.57079632675     		φ = 0.92899360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05620537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.811890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92899360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.227412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108430 KachelY 42559 2.05620537 0.92899360 117.811890 53.227412
    Oben rechts KachelX + 1 108431 KachelY 42559 2.05625331 0.92899360 117.814636 53.227412
    Unten links KachelX 108430 KachelY + 1 42560 2.05620537 0.92896491 117.811890 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 108431 KachelY + 1 42560 2.05625331 0.92896491 117.814636 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92899360-0.92896491) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dl = 182.783989999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92899360-0.92896491) × R
    2.86899999999424e-05 × 6371000     		dr = 182.783989999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05620537-2.05625331) × cos(0.92899360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598640429704272 × 6371000     		do = 182.840196236225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05620537-2.05625331) × cos(0.92896491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 182.847215211856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92899360)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598640429704272-0.598663410660725)×R²
    abs(2.05625331-2.05620537)×2.29809564527006e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29809564527006e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29809564527006e-05×40589641000000     		ar = 33420.9020809793m²