Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108429 / 100092
↖ ↑ ↗
← S 68.395135°
E117.809143°		 ← 112.44 m → S 68.395135°
E117.811890°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 68.396146°
E117.809143°		 ← 112.43 m →
12 643 m²		 S 68.396146°
E117.811890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827251434326172 y=0.763645172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827251434326172 × 217)
    floor (0.827251434326172 × 131072)
    floor (108429.5)     		tx = 108429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763645172119141 × 217)
    floor (0.763645172119141 × 131072)
    floor (100092.5)     		ty = 100092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108429 / 100092 ti = "17/108429/100092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108429/100092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108429 ÷ 217
    108429 ÷ 131072     		x = 0.827247619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100092 ÷ 217
    100092 ÷ 131072     		y = 0.763641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827247619628906 × 2 - 1) × π
    0.654495239257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05615744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.52728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65650750327066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05615744} λ = 2.05615744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65650750327066))-π/2
    2×atan(0.190804200832087)-π/2
    2×0.188538012616445-π/2
    0.377076025232891-1.57079632675     		φ = -1.19372030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05615744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.809143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19372030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.395135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108429 KachelY 100092 2.05615744 -1.19372030 117.809143 -68.395135
    Oben rechts KachelX + 1 108430 KachelY 100092 2.05620537 -1.19372030 117.811890 -68.395135
    Unten links KachelX 108429 KachelY + 1 100093 2.05615744 -1.19373795 117.809143 -68.396146
    Unten rechts KachelX + 1 108430 KachelY + 1 100093 2.05620537 -1.19373795 117.811890 -68.396146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19372030--1.19373795) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19372030--1.19373795) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05615744-2.05620537) × cos(-1.19372030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368203497158014 × 6371000     		do = 112.435367345339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05615744-2.05620537) × cos(-1.19373795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36818708709743 × 6371000     		du = 112.430356335927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19372030)-sin(-1.19373795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368203497158014-0.36818708709743)×R²
    abs(2.05620537-2.05615744)×1.64100605842266e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64100605842266e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64100605842266e-05×40589641000000     		ar = 12642.8673136087m²