Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108428 / 42629
↖ ↑ ↗
← N 53.112163°
E117.806397°		 ← 183.33 m → N 53.112163°
E117.809143°		 →
↑
183.36 m
↓
↑
183.36 m
↓
N 53.110514°
E117.806397°		 ← 183.34 m →
33 616 m²		 N 53.110514°
E117.809143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827243804931641 y=0.325237274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827243804931641 × 217)
    floor (0.827243804931641 × 131072)
    floor (108428.5)     		tx = 108428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325237274169922 × 217)
    floor (0.325237274169922 × 131072)
    floor (42629.5)     		ty = 42629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108428 / 42629 ti = "17/108428/42629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108428/42629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108428 ÷ 217
    108428 ÷ 131072     		x = 0.827239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42629 ÷ 217
    42629 ÷ 131072     		y = 0.325233459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827239990234375 × 2 - 1) × π
    0.65447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05610950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325233459472656 × 2 - 1) × π
    0.349533081054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.09809055959663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05610950} λ = 2.05610950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09809055959663))-π/2
    2×atan(2.99843522101639)-π/2
    2×1.24888922101068-π/2
    2.49777844202135-1.57079632675     		φ = 0.92698212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05610950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.806397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92698212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.112163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108428 KachelY 42629 2.05610950 0.92698212 117.806397 53.112163
    Oben rechts KachelX + 1 108429 KachelY 42629 2.05615744 0.92698212 117.809143 53.112163
    Unten links KachelX 108428 KachelY + 1 42630 2.05610950 0.92695334 117.806397 53.110514
    Unten rechts KachelX + 1 108429 KachelY + 1 42630 2.05615744 0.92695334 117.809143 53.110514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92698212-0.92695334) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dl = 183.357380000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92698212-0.92695334) × R
    2.87800000000615e-05 × 6371000     		dr = 183.357380000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05610950-2.05615744) × cos(0.92698212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60025044898809 × 6371000     		do = 183.331937567399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05610950-2.05615744) × cos(0.92695334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600273467331792 × 6371000     		du = 183.338967962058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92698212)-sin(0.92695334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60025044898809-0.600273467331792)×R²
    abs(2.05615744-2.05610950)×2.3018343701886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3018343701886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3018343701886e-05×40589641000000     		ar = 33615.9082824829m²