Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108427 / 46232
↖ ↑ ↗
← N 46.754917°
E117.803650°		 ← 209.25 m → N 46.754917°
E117.806397°		 →
↑
209.29 m
↓
↑
209.29 m
↓
N 46.753035°
E117.803650°		 ← 209.26 m →
43 795 m²		 N 46.753035°
E117.806397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827236175537109 y=0.352725982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827236175537109 × 217)
    floor (0.827236175537109 × 131072)
    floor (108427.5)     		tx = 108427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352725982666016 × 217)
    floor (0.352725982666016 × 131072)
    floor (46232.5)     		ty = 46232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108427 / 46232 ti = "17/108427/46232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108427/46232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108427 ÷ 217
    108427 ÷ 131072     		x = 0.827232360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46232 ÷ 217
    46232 ÷ 131072     		y = 0.35272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827232360839844 × 2 - 1) × π
    0.654464721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05606156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35272216796875 × 2 - 1) × π
    0.2945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.925373910265564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05606156} λ = 2.05606156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925373910265564))-π/2
    2×atan(2.52281138910087)-π/2
    2×1.19341178163933-π/2
    2.38682356327866-1.57079632675     		φ = 0.81602724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05606156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.803650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81602724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.754917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108427 KachelY 46232 2.05606156 0.81602724 117.803650 46.754917
    Oben rechts KachelX + 1 108428 KachelY 46232 2.05610950 0.81602724 117.806397 46.754917
    Unten links KachelX 108427 KachelY + 1 46233 2.05606156 0.81599439 117.803650 46.753035
    Unten rechts KachelX + 1 108428 KachelY + 1 46233 2.05610950 0.81599439 117.806397 46.753035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81602724-0.81599439) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dl = 209.287350000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81602724-0.81599439) × R
    3.28500000000842e-05 × 6371000     		dr = 209.287350000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05606156-2.05610950) × cos(0.81602724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68512048287262 × 6371000     		do = 209.25343047039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05606156-2.05610950) × cos(0.81599439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685144411420764 × 6371000     		du = 209.260738864914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81602724)-sin(0.81599439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68512048287262-0.685144411420764)×R²
    abs(2.05610950-2.05606156)×2.39285481433704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39285481433704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39285481433704e-05×40589641000000     		ar = 43794.8607229077m²