Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108427 / 42567
↖ ↑ ↗
← N 53.214257°
E117.803650°		 ← 182.90 m → N 53.214257°
E117.806397°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
N 53.212612°
E117.803650°		 ← 182.90 m →
33 443 m²		 N 53.212612°
E117.806397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827236175537109 y=0.324764251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827236175537109 × 217)
    floor (0.827236175537109 × 131072)
    floor (108427.5)     		tx = 108427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324764251708984 × 217)
    floor (0.324764251708984 × 131072)
    floor (42567.5)     		ty = 42567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108427 / 42567 ti = "17/108427/42567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108427/42567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108427 ÷ 217
    108427 ÷ 131072     		x = 0.827232360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42567 ÷ 217
    42567 ÷ 131072     		y = 0.324760437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827232360839844 × 2 - 1) × π
    0.654464721679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05606156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324760437011719 × 2 - 1) × π
    0.350479125976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.10106264737307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05606156} λ = 2.05606156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10106264737307))-π/2
    2×atan(3.00736008986236)-π/2
    2×1.2497801597052-π/2
    2.4995603194104-1.57079632675     		φ = 0.92876399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05606156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.803650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92876399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.214257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108427 KachelY 42567 2.05606156 0.92876399 117.803650 53.214257
    Oben rechts KachelX + 1 108428 KachelY 42567 2.05610950 0.92876399 117.806397 53.214257
    Unten links KachelX 108427 KachelY + 1 42568 2.05606156 0.92873529 117.803650 53.212612
    Unten rechts KachelX + 1 108428 KachelY + 1 42568 2.05610950 0.92873529 117.806397 53.212612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92876399-0.92873529) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92876399-0.92873529) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05606156-2.05610950) × cos(0.92876399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598824335636527 × 6371000     		do = 182.896365841675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05606156-2.05610950) × cos(0.92873529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59884732065738 × 6371000     		du = 182.903386058678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92876399)-sin(0.92873529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598824335636527-0.59884732065738)×R²
    abs(2.05610950-2.05606156)×2.29850208530724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29850208530724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29850208530724e-05×40589641000000     		ar = 33442.8216500592m²