Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108426 / 46230
↖ ↑ ↗
← N 46.758680°
E117.800903°		 ← 209.24 m → N 46.758680°
E117.803650°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
N 46.756798°
E117.800903°		 ← 209.25 m →
43 778 m²		 N 46.756798°
E117.803650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827228546142578 y=0.352710723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827228546142578 × 217)
    floor (0.827228546142578 × 131072)
    floor (108426.5)     		tx = 108426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352710723876953 × 217)
    floor (0.352710723876953 × 131072)
    floor (46230.5)     		ty = 46230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108426 / 46230 ti = "17/108426/46230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108426/46230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108426 ÷ 217
    108426 ÷ 131072     		x = 0.827224731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46230 ÷ 217
    46230 ÷ 131072     		y = 0.352706909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827224731445312 × 2 - 1) × π
    0.654449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05601362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352706909179688 × 2 - 1) × π
    0.294586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.925469784064804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05601362} λ = 2.05601362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925469784064804))-π/2
    2×atan(2.52305327220845)-π/2
    2×1.19344462304445-π/2
    2.38688924608891-1.57079632675     		φ = 0.81609292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05601362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.800903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81609292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.758680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108426 KachelY 46230 2.05601362 0.81609292 117.800903 46.758680
    Oben rechts KachelX + 1 108427 KachelY 46230 2.05606156 0.81609292 117.803650 46.758680
    Unten links KachelX 108426 KachelY + 1 46231 2.05601362 0.81606008 117.800903 46.756798
    Unten rechts KachelX + 1 108427 KachelY + 1 46231 2.05606156 0.81606008 117.803650 46.756798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81609292-0.81606008) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81609292-0.81606008) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05601362-2.05606156) × cos(0.81609292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685072638127868 × 6371000     		do = 209.238817453819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05601362-2.05606156) × cos(0.81606008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.685096560869671 × 6371000     		du = 209.246124074937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81609292)-sin(0.81606008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685072638127868-0.685096560869671)×R²
    abs(2.05606156-2.05601362)×2.39227418026289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39227418026289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39227418026289e-05×40589641000000     		ar = 43778.4713799634m²