Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108426 / 42628
↖ ↑ ↗
← N 53.113812°
E117.800903°		 ← 183.32 m → N 53.113812°
E117.803650°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.112163°
E117.800903°		 ← 183.33 m →
33 603 m²		 N 53.112163°
E117.803650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827228546142578 y=0.325229644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827228546142578 × 217)
    floor (0.827228546142578 × 131072)
    floor (108426.5)     		tx = 108426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325229644775391 × 217)
    floor (0.325229644775391 × 131072)
    floor (42628.5)     		ty = 42628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108426 / 42628 ti = "17/108426/42628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108426/42628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108426 ÷ 217
    108426 ÷ 131072     		x = 0.827224731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42628 ÷ 217
    42628 ÷ 131072     		y = 0.325225830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827224731445312 × 2 - 1) × π
    0.654449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05601362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325225830078125 × 2 - 1) × π
    0.34954833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09813849649625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05601362} λ = 2.05601362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09813849649625))-π/2
    2×atan(2.99857896014977)-π/2
    2×1.24890360780772-π/2
    2.49780721561545-1.57079632675     		φ = 0.92701089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05601362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.800903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92701089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.113812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108426 KachelY 42628 2.05601362 0.92701089 117.800903 53.113812
    Oben rechts KachelX + 1 108427 KachelY 42628 2.05606156 0.92701089 117.803650 53.113812
    Unten links KachelX 108426 KachelY + 1 42629 2.05601362 0.92698212 117.800903 53.112163
    Unten rechts KachelX + 1 108427 KachelY + 1 42629 2.05606156 0.92698212 117.803650 53.112163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92701089-0.92698212) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92701089-0.92698212) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05601362-2.05606156) × cos(0.92701089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		do = 183.324909463774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05601362-2.05606156) × cos(0.92698212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60025044898809 × 6371000     		du = 183.331937567399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92701089)-sin(0.92698212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600227438145501-0.60025044898809)×R²
    abs(2.05606156-2.05601362)×2.30108425886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30108425886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30108425886e-05×40589641000000     		ar = 33602.939563713m²